Potencia de primo

En matemáticas, unha potencia de primo é un enteiro positivo que é unha potencia enteira positiva dun único número primo. Por exemplo: 7 = 7¹, 9 = 3² e 64 = 2⁶ son potencias de primo, mentres que 6 = 2 × 3, 12 = 2² × 3 e 36 = 6² = 2² × 3² non o son.

A secuencia de potencias de primo comeza:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, …

(secuencia A246655 na OEIS).

As potencias de primo son aqueles enteiros positivos que son divisíbeis por exactamente un número primo; en particular, o número 1 non é unha potencia de primo. As potencias de primo tamén se denominan números primarios, como na descomposición primaria.

Propiedades

Propiedades alxébricas

As potencias de primo son potencias de números primos. Toda potencia de primo (agás as potencias de 2 maiores que 4) ten unha raíz primitiva; así, o grupo multiplicativo de números enteiros módulo pⁿ (é dicir, o grupo de unidades do anel Z/pⁿZ ) é cíclico.

O número de elementos dun corpo finito é sempre unha potencia de primo e, viceversa, cada potencia de primo ocorre como o número de elementos nalgún corpo finito (que é único ata isomorfismo).

Propiedades combinatorias

Unha propiedade das potencias de primo que se usa con frecuencia na teoría analítica de números é que o conxunto de potencias de primo que non son primos é un conxunto pequeno no sentido de que a suma infinita dos seus recíprocos converxe, aínda que os primos son un conxunto grande.

Propiedades de divisibilidade

A función totiente (φ) e as funcións sigma (σ₀) e (σ₁) dunha potencia de primo calcúlanse mediante as fórmulas

$\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

Todas as potencias de primo son números deficientes. Unha potencia de primo pⁿ é un n-case primo . Non se sabe se unha potencia de primo pⁿ pode ser membro dunha parella amigábel. Se hai tal número, entón pⁿ debe ser maior que 10¹⁵⁰⁰ e n debe ser maior que 1400.

Véxase tamén

Bibliografía

• Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary (1998) Elementary Number Theory Springer-Verlag London doi 10.1007/978-1-4471-0613-5

Outros artigos

• Semiprimo.
• Case primo.
• Potencia perfecta.