Unidade (teoría dos aneis)

En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbel^[a] dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento $u$ dun anel $R$ é unha unidade se existe $v$ en $R$ tal que

vu=uv=1,

onde $1$ é a identidade multiplicativa; o elemento $v$ é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de $u$ .^[1]^[2] O conxunto de unidades de $R$ forma un grupo $R \times$ baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de $R$ .^[b] Outras notacións para o grupo de unidades son $R *$ , $U(R)$ .

Exemplos

A identidade multiplicativa $1$ e a súa inversa aditiva $-1$ son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel $R$ é unha unidade: se $r n = 1$ , entón $r n -1$ é un inverso multiplicativo de $r$ . Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que $R \times$ non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero $R$ no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, $R \times = R ∖ {0}$ ) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais $R$ é $R ∖ {0}$ (todos os números agás o cero).

Anel de enteiros

No anel de enteiros $Z$ , as únicas unidades son $1$ e $-1$ .

No anel $Z / n Z$ de enteiros módulo $n$ , as unidades son as clases de congruencia $(mod n)$ representadas por enteiros coprimos a $n$ . Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo $n$ .

Anel de números enteiros dun corpo numérico

No anel $Z [\sqrt 3]$ obtido ao estender $Z$ co enteiro cadrático $\sqrt 3$ , temos $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , polo que $2 + \sqrt 3$ é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que $Z [\sqrt 3]$ ten infinitas unidades.

De xeito máis xeral, para o anel de enteiros $R$ nun corpo numérico $F$ , o teorema das unidades de Dirichlet afirma que $R \times$ é isomorfo ao grupo

\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}

onde $\mu _{R}$ é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en $R$ , e $n$ é o rango do grupo de unidades, con valor

n=r_{1}+r_{2}-1,

onde $r_{1},r_{2}$ son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de $F$ , respectivamente.

Relacionando esta fórmula co exemplo $Z [\sqrt 3]$ : o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun) corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que $r_{1}=2,r_{2}=0$ .

Polinomios e series formais de potencias

Para un anel conmutativo $R$ , as unidades do anel de polinomios $R [x]$ son os polinomios

p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

tal que $a 0$ é unha unidade en $R$ e os restantes coeficientes $a_{1},\dots ,a_{n}$ son nilpotentes, é dicir, satisfán $a_{i}^{N}=0$ para algún $N$ ^[4]. En particular, se $R$ é un dominio, entón as unidades de $R [x]$ son as unidades de $R$ . As unidades do anel da serie formal de potencias $R[[x]]$ son as series formais de potencias

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

tal que $a 0$ é unha unidade en $R$ . ^[4]

Aneis de matrices

O grupo de unidades do anel $M n (R)$ de matrices $n \times n$ sobre un anel $R$ é o grupo $GL n (R)$ de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo $R$ , un elemento $A$ de $M n (R)$ é invertíbel se e só se o determinante de $A$ é invertíbel en $R$ . Nese caso, $A -1$ pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.

En xeral

Para os elementos $x$ e $y$ nun anel $R$ , se $1-xy$ é invertíbel, entón $1-yx$ ten inverso $1+y(1-xy)^{-1}x$ ; ^[5] esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: $(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$ Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.

Grupo das unidades

Un anel conmutativo é un anel local se $R ∖ R \times$ é un ideal máximal.

Como pode verse, se $R ∖ R \times$ é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e $R$ é local xa que un ideal máximal é disxunto de $R \times$ .

Se $R$ é un corpo finito, entón $R \times$ é un grupo cíclico de orde $| R | - 1$ .

Todo homomorfismo de aneis $f : R \to S$ induce un homomorfismo de grupos $R \times \to S \times$ , xa que $f$ mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos.

O esquema do grupo $\operatorname {GL} _{1}$ é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos $\mathbb {G} _{m}$ sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo $R$ , os grupos $\operatorname {GL} _{1}(R)$ e $\mathbb {G} _{m}(R)$ son canonicamente isomorfos a $U (R)$ . Teña en conta que o functor $\mathbb {G} _{m}$ (é dicir, $R \mapsto U (R)$ ) é representábel no sentido: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ para aneis conmutativos $R$ . Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ e o conxunto de elementos unidade de $R$ (en contraste, $\mathbb {Z} [t]$ representa o grupo aditivo $\mathbb {G} _{a}$ , o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).

Notas

↑ No caso dos aneis, o uso de "elemento invertíbel" tómase como evidentemente referido á multiplicación, xa que todos os elementos dun anel son invertíbeis para a suma.
↑ A notación $R \times$ , introducida por André Weil, úsase habitualmente na teoría de números, onde os grupos de unidades xorden con frecuencia.^[3] O símbolo $\times$ é un lembrete de que a operación do grupo é a multiplicación. A maiores, un superíndice × non se usa con frecuencia noutros contextos, mentres que un superíndice $*$ a miúdo denota dual.

Referencias

↑ Dummit & Foote 2004.
↑ Lang 2002.
↑ Weil 1974
↑ ^4,0 ^4,1 Watkins 2007.
↑ Jacobson 2009.

Véxase tamén

Bibliografía

Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007). Topics in commutative ring theory. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12748-4. MR 2330411.
Weil, André (1974). Basic number theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

Outros artigos

[1] No caso dos aneis, o uso de "elemento invertíbel" tómase como evidentemente referido á multiplicación, xa que todos os elementos dun anel son invertíbeis para a suma.

[5] A notación $R \times$ , introducida por André Weil, úsase habitualmente na teoría de números, onde os grupos de unidades xorden con frecuencia.^[3] O símbolo $\times$ é un lembrete de que a operación do grupo é a multiplicación. A maiores, un superíndice × non se usa con frecuencia noutros contextos, mentres que un superíndice $*$ a miúdo denota dual.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-2] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-3] Lang 2002.

[FOOTNOTEWeil1974-4] Weil 1974

[FOOTNOTEWatkins2007-6] 4,0 ^4,1 Watkins 2007.

[FOOTNOTEJacobson2009-7] Jacobson 2009.

[a]

[1]

[2]

[b]

[4]

[5]

[3]