Proxección de Mercator

Mapa de Mercator de 1569

Comparación, nunha proxección Mercator do Atlántico Norte, do rumbo loxodromia (segundo puntos cardinais, liña recta no mapa) fronte á xeodésica (segundo un círculo máximo terrestre ou distancia máis curta, curva no mapa)

A proxección de Mercator é un tipo de proxección cartográfica ideada por Gerardus Mercator en 1569 para elaborar mapas da superficie terrestre. Foi moi empregada dende o século XVIII para cartas náuticas porque permitía trazar as rutas de rumbo constante ou loxodrómicas como liñas rectas e ininterrompidas, a diferenza doutras proxeccións máis precisas.

É un tipo de proxección cilíndrica tanxente ao ecuador. Como tal, deforma as distancias entre os meridianos en liñas paralelas, aumentando o seu largo real cada vez máis a medida que se achega aos polos.

Esta proxección tampouco respecta as formas reais entre os paralelos, amplíaa ao longo, cada vez máis a medida que se achega aos polos, distorsionando as áreas próximas aos polos aínda máis, notándose a diferenza coa proxección cilíndrica equidistante, que si respecta distancias entre paralelos e ten só as deformacións meridionais da proxección.

Matemática

Relación entre a posición vertical no mapa (horizontal no gráfico) e latitude (vertical no gráfico)

As seguintes ecuacións determinan as coordenadas (x, y) dun punto no mapa en proxección Mercator a partir da súa latitude φ e lonxitude λ (sendo λ₀ a lonxitude central do mapa):

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln {\left[\tan {\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}\right]}\\&={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+\mathrm {sen} \,\phi }{1-\mathrm {sen} \,\phi }}\right)}\\&=\mathrm {senh} ^{-1}{(\tan {\phi })}\\&=\tanh ^{-1}{(\mathrm {sen} \,\phi )}\\&=\ln {(\tan {\phi }+\sec {\phi })}\end{aligned}}$

Esta é a inversa da función de Gudermann:

${\begin{aligned}\phi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}\\\end{aligned}}$

A escala é proporcional á secante da latitude φ, facéndose extremadamente grande preto dos polos. No propio polo φ = 90° o –90°. Como se deduce das fórmulas, o valor para y nos polos é +/– infinito.

Derivación da proxección

A proxección Mercator é unha proxección cilíndrica

Asumindo que a Tierra ten forma esférica (en realidade parecése máis a un elipsoide levemente aplanado nos polos e con outras leves deformacións, mais para mapas de pequena escala a diferenza é irrelevante), procúrase transformar o sistema lonxitude-latitude (λ,φ) no sistema cartesiano (x,y) que é "un cilindro tanxente ao ecuador" (por exemplo, x=λ) e conforme, tal que:

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\phi ){\frac {\partial x}{\partial \phi }}$

De x = λ tense:

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \phi }}=0$

resultando

$1=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

Dado que y é función só de φ con $y'=\sec \phi$ da que unha táboa de integrais dá

$y=\ln[\sec(\phi )+\tan(\phi )]+C\,$.

É conveniente asignar φ = 0 a y = 0, co que a constante C se anula, C = 0.

Controversia

Indicatriz de Tissot na proxección Mercator

Indicatriz de Tissot na proxección sinusoidal

Como en toda proxección cartográfica, cando se intenta axustar unha superficie esférica nunha superficie plana, a forma do mapa é unha distorsión da verdadeira configuración da superficie terrestre. A proxección de Mercator vai esaxerando o tamaño das terras a medida que se afasta da liña do Ecuador.

Por iso, nos mapamundis Mercator Groenlandia aparece aproximadamente do tamaño de África, cando en realidade a superficie de África é aproximadamente 14 veces a de Groenlandia e Alasca aparece similar en tamaño ao Brasil, cando a área do Brasil é case cinco veces maior cá de Alasca.

Aínda que moi usada na navegación, os críticos argumentan que non é axeitada para representar o mundo completo debido á distorsión das áreas. O propio Mercator empregou unha proxección equivalente (é dicir, que conserva a proporción entre áreas) nos seus mapas rexionais non destinados á navegación. Como resultado destas críticas, os atlas modernos xa non adoitan empregar a proxección de Mercator para mapamundis ou rexións distantes do Ecuador, prefirindo outras proxeccións cilíndricas, ou proxeccións equivalentes (equiáreas). A proxección de Mercator, con todo, continúa a empregarse para rexións próximas ao Ecuador.

Arno Peters provocou controversia cando propuxo a proxección coñecida como proxección de Gall-Peters, unha leve modificación da cilíndrica equivalente de Lambert, como a alternativa á de Mercator. Unha resolución de 1989 de sete grupos xeográficos norteamericanos desbotou o emprego de todos os mapamundis de coordenadas rectangulares (cilíndricas), incluíndo a Mercator e a Gall-Peters.

Uso actual en Internet

As aplicaciones web de cartografía, como Google Maps, OpenStreetMap ou Bing Maps, empregan actualmente a proxección de Mercator. Concretamente utilizan unha variante que supón que a superficie do planeta é esférica en vez da forma exacta, elipsoidal, para simplificar os cálculos. Os desenvolvedores de Bing Maps xustificaron a escolla da proxección de Mercator por dous motivos. En primeiro lugar, como en toda proxección cilíndrica, en calquera punto do planeta a dirección norte-sur aparece sempre vertical e a leste-oeste horizontal. En segundo lugar, por ser unha proxección conforme, as formas dos edificios non se distorsionan, evitando que un edificio cadrado poida aparecer rectangular como ocorre noutras proxeccións. Estas dúas virtudes compensan segundo os autores destas aplicacións, as significativas distorsións de escala que introduce a proxección de Mercator, sobre todo nas rexións achegadas aos polos.

Google Satellite Maps, por outra banda, empregou unha proxección plate carrée ata xullo de 2005.

Nos mapas en Google Maps a máxima latitude representada é de +/– 85.0511287798066 graos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections (second ed.). Pergamon Press. ISBN 0-08-037233-3. .
• Monmonier, Mark (2004). Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (Hardcover ed.). Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-53431-6. 
• Olver, F. W.J.; Lozier, D.W.; Boisvert, R.F.; et al., eds. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. 
• Osborne, Peter (2013). The Mercator Projections. doi:10.5281/zenodo.35392. (Supplements: Maxima files and Latex code and figures) 
• Rapp, Richard H (1991). Geometric Geodesy, Part I. 
• Snyder, John P (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. University of Chicago Press. ISBN 0-226-76747-7. 
• Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C.  This paper can be downloaded from USGS pages. It gives full details of most projections, together with interesting introductory sections, but it does not derive any of the projections from first principles.

Ligazóns externas

• Convertedor de xeodésica á proxección de Mercator Arquivado 11 de setembro de 2017 en Wayback Machine.
• Convertedor da proxección de Mercator á xeodésica Arquivado 10 de setembro de 2017 en Wayback Machine.