Relación simétrica

Unha relación simétrica é un tipo de relación binaria. Formalmente, unha relación binaria R sobre un conxunto X é simétrica se: ^[1]

\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),

aquí a notación aRb significa que (a, b) ∈ R .

Relacións binarias transitivas

	Simétrica	Antisimétrica	Conexa	Ben fundada	Ten joins	Ten meets	Reflexiva	Irreflexiva	Asimétrica

Relación de equivalencia	Si	Non	Non	Non	Non	Non	Si	Non	Non
Preorde (Cuasiorde)	Non	Non	Non	Non	Non	Non	Si	Non	Non
Orde parcial	Non	Si	Non	Non	Non	Non	Si	Non	Non
Preorde total	Non	Non	Si	Non	Non	Non	Si	Non	Non
Orde total	Non	Si	Si	Non	Non	Non	Si	Non	Non
Pre-Ben ordenada	Non	Non	Si	Si	Non	Non	Si	Non	Non
Cuasi-Ben ordenada	Non	Non	Non	Si	Non	Non	Si	Non	Non
Ben ordenada	Non	Si	Si	Si	Non	Non	Si	Non	Non
Retícula	Non	Si	Non	Non	Si	Si	Si	Non	Non
Semiretícula superior (join)	Non	Si	Non	Non	Si	Non	Si	Non	Non
Semiretícula inferior (meet)	Non	Si	Non	Non	Non	Si	Si	Non	Non
Orde estrita parcial	Non	Si	Non	Non	Non	Non	Non	Si	Si
Orde estrita feble	Non	Si	Non	Non	Non	Non	Non	Si	Si
Orde estrita total	Non	Si	Si	Non	Non	Non	Non	Si	Si
	Simétrica	Antisimétrica	Conexa	Ben fundada	Ten joins	Ten meets	Reflexiva	Irreflexiva	Asimétrica
Definicións, para todo $a,b$ e $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{non }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}$

Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que

Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por

Si na columna "Simétrica" e

Non na columna "Antisimétrica".

Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea $R$ sexa transitiva: para todo $a,b,c,$ se $aRb$ e $bRc$ entón $aRc.$
Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

A simetría, xunto coas relacións de reflexividade e a de transitividade, son as tres propiedades que definen unha relación de equivalencia.^[1]

Exemplos

En matemáticas

"é igual a" (igualdade) (mentres que "é menor que" non é simétrica)
"é comparable a", para elementos dun conxunto parcialmente ordenado
"x e y son impares":

Fóra das matemáticas

"está casado con"
"é un irmán totalmente biolóxico de"
"é un compañeiro de traballo"

Asimétrica

Asimétrica. Cando unha relación é o oposto a unha simétrica, é dicir, cando se dá que se un elemento está relacionado con outro mediante R, entón ese outro non está relacionado co primeiro, entón se di que é asimétrica, o que denotamos formalmente por:

\forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)

Neste caso, dise que R cumpre coa propiedade de asimetría.

Antisimétrica

Antisimétrica. Unha relación binaria $R$ sobre un conxunto $A$ é antisimétrica cando se dá que se dous elementos de $A$ relaciónanse entre si mediante $R$ , entón estes elementos son iguais.

É dicir,

\forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b

Nese caso, dise que $R$ cumpre coa propiedade de antisimetría.

Exemplos matemáticos
	Simétrica	Non simétrica
Antisimétrica	Igualdade.	1.Divide. 2.Menor ou igual a.
Non antisimétrica	Congruencia en aritmética modular.	1.División enteira. 2.A maioría das permutacións non triviais.

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. Oxford University Press. p. 57. ISBN 978-0-19-871369-2.

Véxase tamén

Outros artigos

[:0-1] 1,0 ^1,1 Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. Oxford University Press. p. 57. ISBN 978-0-19-871369-2.

[1]