Saltar ao contido

Relación reflexiva

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirección desde «Relación irreflexiva»)

En matemáticas, unha relación binaria nun conxunto é reflexiva se relaciona cada elemento de consigo mesmo. [1] [2]

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.

Definición

[editar | editar a fonte]
Relacións binarias transitivas
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica
Relación de equivalencia Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Preorde (Cuasiorde) Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Orde parcial Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Preorde total Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Orde total Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Pre-Ben ordenada Non Non Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Cuasi-Ben ordenada Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Ben ordenada Non Non Si Si Si Si Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Retícula Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Si Si Si Si Non Non Non Non
Semiretícula superior (join) Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Si Si Non Non Non Non
Semiretícula inferior (meet) Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non
Orde estrita parcial Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Orde estrita feble Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Orde estrita total Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica
Definicións, para todo e
Si Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que Non Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por Si Si na columna "Simétrica" e Non Non na columna "Antisimétrica".

Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea sexa transitiva: para todo se e entón
Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

Sexa unha relación binaria nun conxunto que por definición é só un subconxunto de Para calquera a notación significa que mentres "non " significa que

A relación chámase reflexiva se para todo .

De forma equivalente, se denota a relación de identidade en , a relación é reflexiva se .

O peche reflexivo de é a unión que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a ) relación reflexiva en que é un superconxunto de Unha relación é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de é a relación máis pequena (con respecto a ) en que ten o mesmo peche reflexivo que É igual a

A redución reflexiva de pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica nos reais é a desigualdade non estrita habitual mentres que a redución reflexiva de é

Definicións relacionadas

[editar | editar a fonte]

Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación chámase:

irreflexiva, antireflexiva
se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se non vale para ningún Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.
case reflexiva pola esquerda
se sempre que son tal que entón necesariamente [3]
case reflexiva pola dereita
se sempre que son tal que entón necesariamente
case reflexiva
se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que sexan tal que entón necesariamente e De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.
antisimétrica
se sempre que son tal que entón necesariamente
coreflexiva
se sempre que son tal que entón necesariamente [4] Unha relación é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro non pode ser irreflexiva, nin asimétrica ( chámase asimétrica se non implica ), nin antitransitiva ( é antitransitiva se implica non ).

Representación

[editar | editar a fonte]

Sexa unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.

Notación Relación reflexiva Relación antirreflexiva
Como pares ordenados
Como matriz de adxacencia A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir, A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir,
Como grafo O grafo conterá bucles en todos os seus nodos. O grafo non conterá bucles en ningún dos seus nodos.

Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

  • "é igual a" (igualdade)
  • "é un subconxunto de"
  • "divide a" (divisibilidade)
  • "é maior ou igual a"
  • "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

  • "non é igual a"
  • coprimo a" nos enteiros maiores que 1
  • "é un subconxunto propio de"
  • "é maior que"
  • "é menor que"
  1. Levy 1979, p. 74.
  2. Schmidt 2010.
  3. A Enciclopedia Británica chama a esta propiedade quase-reflexividade.
  4. Fonseca de Oliveira & Pereira Cunha Rodrigues 2004, p. 337

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]