Resolución de ecuacións

En matemática, a resolución dunha ecuación é o procedemento de cálculo para encontrar cales son os valores (números, funcións, conxuntos etc.) que cumpren a condición indicada como unha igualdade (unha ecuación). Estes valores adoitan denominarse raíces da ecuación. A resolución de ecuacións polinómicas, ou alxébricas, ten un papel importante no nacemento e posterior desenvolvemento da álxebra. A rama das matemáticas que as estuda é a teoría de ecuacións.^[1]

Unha ecuación comprende expresións con variables indefinidas, ou incógnitas, que deben ser substituídas por valores de forma tal que a igualdade sexa certa. Para caracterizar as solucións dunha ecuación impóñense restricións sobre as incógnitas. En xeral, pídese que pertenzan a un conxunto numérico específico.

A resolución de ecuacións lineares, cuadráticas, cúbicas e cuárticas mediante factorización de raíces é bastante sinxela cando as raíces son racionais ou reais; tamén hai fórmulas que proporcionan as solucións. Porén, non hai unha fórmula xeral en termos de raíces para as ecuacións de quinto grao sobre os racionais; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicacións, divisións e extraccións de raíces. Isto probouno por primeira vez o teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que foi unha das primeiras aplicacións da teoría de grupos na álxebra. Este resultado tamén se cumpre para ecuacións de maior grao.

Definición de ecuación

Dada unha función f : A → B e un b en B, é dicir, un elemento do codominio de f:

A igualdade f(x) = b é unha ecuación.

Na ecuación dada, x denomínase incógnita.

Un exemplo de ecuación é o seguinte, tomando

${\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {e}}&b&=&1\end{array}}$

tense a ecuación con variable natural

$3x-2=1.$

O estudo das ecuacións depende das características dos conxuntos e a aplicación; por exemplo, no caso das ecuacións diferenciais, os elementos do conxunto $A$ son funcións e a aplicación $f$ debe incluír algunha das derivadas do argumento. Nas ecuacións matriciais, a incógnita é unha matriz.

A definición dada inclúe as igualdades da forma $g(x)=h(x)$ . Se « $+$ » denota a suma de funcións, entón $(B,+)$ é un grupo. Abonda con definir a aplicación $f(x)=g(x)+($ − $h(x))$ , con - $h$ o inverso de $h$ con respecto á suma, para transformar a igualdade nunha ecuación $f(x)=0$ con b = 0.

Solucións dunha ecuación

O conxunto solución é aquel que contén todos os valores determinados que cumpren coa ecuación, e estes valores denomínanse solucións. Por exemplo, a ecuación

$3x-2=1$

ten ${\mathcal {S}}=\{1\}$ como o seu conxunto solución, con 1 como única solución da ecuación.

En xeral, dada $f:A\to B$ unha función, e $f(x)=b$ a ecuación que determina,

O conxunto ${\mathcal {S}}=\{a_{1},a_{2},\dots \}$ de valores de A é o conxunto solución se se cumpre $f(a_{i})=b$ , para os $a_{i}$ pertencentes a ${\mathcal {S}}$ .

O conxunto de solucións pode ser

baleiro (non hai solucións),
unitario (existe exactamente unha solución),
finito (existe un número finito de solucións) ou
infinito.

Exemplos

Se x é un número natural, a ecuación linear 3x+1 = 5x–3 ten como solución única x = 2. É dicir, o conxunto solución {2} é unitario.
A ecuación x² = –1 non ten solución se se considera x un número real. Isto exprésase dicindo que o conxunto solución é {}, no sentido de que non existe ningún número real positivo que resolve a ecuación. Pode ampliarse o conxunto sobre o que se considera x ao dos números complexos, e nese caso x² = –1 ten como conxunto solución {i, -i}, onde i é a unidade imaxinaria.
Non hai ningún valor de x que satisfai a ecuación x = x+1. Isto é independente do conxunto sobre o que está definida a variable x.
A ecuación x = x é válida para calquera valor de x. Este tipo de igualdades denomínanse identidades.
A ecuación sen(πx) = 0 ten como solución calquera x enteiro. É dicir, no conxunto dos números enteiros, esta ecuación é en realidade unha identidade.

Métodos de solución

En casos simples, é relativamente doado resolver unha ecuación sempre que se satisfagan certas condicións. Porén, en casos máis complicados, é difícil ou complexo obter expresións simbólicas para as solucións, e por iso ás veces se empregan solucións numéricas aproximadas.

Funcións inversas

Para o caso simple dunha función dunha variable, por exemplo, h(x), pódese resolver unha ecuación do tipo

h(x) = c, c constante

se se ten en conta o que se denomina a función inversa de h.

Dada unha función h : A → B, a función inversa, identificada como h⁻¹, defínese como h⁻¹ : B → A é unha función tal que

h^-1(h(x)) = h(h^-1(x)) = x.

Agora, se se aplica a función inversa en ambos os membros da igualdade

h(x)=c, c constante

obtense

h^-1(h(x))=h^-1(c)

x = h^-1(c)

e atopouse a solución da ecuación. Non obstante, dependendo da función, pode ser difícil definir a inversa, ou pode que non sexa unha función en todo o conxunto B (por exemplo só nun subconxunto), e ter moitos valores para un punto determinado.

Exemplos

Se x aparece como sumando na ecuación, súmase o termo oposto (co signo cambiado) a ambos os membros da ecuación para obter x. Se x aparece multiplicando, entón multiplícanse ambos os membros polo seu recíproco. Se x é un expoñente nunha ecuación exponencial, aplícase o logaritmo nunha base adecuada a ambos os membros. Se x é a base dunha ecuación de potencia, aplícase a raíz correspondente en ambos os membros. Se x é o ángulo nunha ecuación trigonométrica, aplícase a función trigonométrica inversa en ambos os membros da ecuación.

Métodos numéricos

En ecuacións máis complicadas, os métodos simples de solución de ecuacións pode que non sexan apropiados. En certos casos, pódese empregar un algoritmo de busca de raíces para atopar a solución numérica dunha ecuación, que en certos casos é máis que suficiente para resolver algúns problemas.

Series de Taylor

Unha área das matemáticas enfocouse na creación dalgunha función máis simple para aproximar unha función complexa, nas proximidades ou veciñanza dun punto dado. En efecto, pódense empregar polinomios nunha ou varias variables para aproximar funcións. Un exemplo destes polinomios son as series de Taylor.

Resolución doutras ecuacións

Cómpre salientar que é posible crear ecuacións aínda máis complicadas, mediante o uso de operadores diferenciais, matrices, e outros operadores matemáticos. En todos estes casos mantense o principio de que a resolución da ecuación é a busca dos valores que fan que a ecuación se satisfaga, só que dependendo dos operadores matemáticos involucrados será necesario empregar diferentes estratexias ou métodos para resolver as ecuacións.

Notas

↑ Selzer, Samuel (15 de setembro de 1970). Álgebra y geometría analítica (en castelán) (2ª ed.). Bos Aires: Nigar. p. 285.

Véxase tamén

Outros artigos

[t_de_Ec-1] Selzer, Samuel (15 de setembro de 1970). Álgebra y geometría analítica (en castelán) (2ª ed.). Bos Aires: Nigar. p. 285.

[1]