Relatividade xeral

Simulación dun buraco negro de masa 10 veces a do Sol, no interior da Vía Láctea visto a unha distancia de 600 quilómetros.

En física, a relatividade xeral é a xeneralización, publicada en 1915 por Albert Einstein, da Teoría da gravitación de Newton. Esta nova teoría, tendo en conta as ideas descubertas na relatividade restricta sobre o espazo e o tempo, propón a xeneralización do principio da relatividade do movemento de referenciais en movemento uniforme para a relatividade do movemento mesmo entre referenciais en movemento acelerado. Esta xeneralización ten implicacións profundas no coñecemento do espazo-tempo, levando entre outras conclusións a de que a materia (enerxía) curva o espazo e mailo tempo ao redor seu. É dicir, a gravitación é un efecto da xeometría do espazo-tempo.

Moitas previsións da relatividade xeral difiren significativamente das da física clásica, especialmente no que respecta ao paso do tempo, a xeometria do espazo, o movemento dos corpos en caída libre, e a propagación da luz. Exemplos desas diferenzas son a dilatación gravitacional do tempo, o desvío gravitacional para o vermello da luz, e o tempo de atraso gravitacional. As previsións da relatividade xeral foron confirmadas en todas as observacións e experimentos feitos até o presente. Porén a relatividade xeral non é a única teoría relativística da gravidade, pero é a máis simple das teorías que son consistentes cos datos experimentais. Mentres, hai cuestións aínda sen resposta, sendo a máis fundamental delas o explicar como a relatividade xeral pode ser conciliada coas leis da física cuántica para producir unha teoría completa e autoconsistente da gravitación cuántica.

A teoría de Einstein ten importantes implicacións astrofísicas. Apunta á existencia de buracos negros - rexións do espazo onde o espazo e o tempo son distorsionados de tal forma que nada, nin mesmo a luz, pode escapar - como un estado final para as estrelas macizas. Hai evidencias de que eses buracos negros estelares, como outras variedades macizas de buracos negros, son responsábeis da intensa radiación emitida por certos tipos de obxectos astronómicos, como núcleos activos de galaxias ou microquásares. O desvío da luz pola gravidade pode levar ao fenómeno de lente gravitacional, onde varias imaxes do mesmo obxecto astronómico distante son visíbeis no ceo. A relatividade xeral tamén prevé a existencia de ondas gravitacionais, que xa foran medidas indirectamente; unha medida directa é o obxectivo dalgúns proxectos, como o LIGO. Alén diso, a relatividade xeral é a base dos actuais modelos cosmolóxicos dun universo sempre en expansión.

Antecedentes

Aínda que a moderna teoría se debe a Einstein, as súas orixes matemático-topolóxicas atópanse no estudo dos axiomas da xeometría euclidiana e os moitos intentos de probar, ó longo dos séculos, o quinto postulado de Euclides, (que di que dúas liñas paralelas permanecen sempre equidistantes), e que culminaron coa constatación por Bolyai e Gauss de que este axioma non é necesariamente certo (isto é, existen outras xeometrías do espazo –xeometrías non euclidianas– nas que o postulado das paralelas non é válido). As matemáticas xerais do chamado espazo riemmanniano, que é unha xeometría non euclidiana desenvolveunas Riemann, discípulo de Gauss, pero non foi ata despois de que Einstein desenvolvese a teoría da Relatividade especial que as xeometrías non euclidianas do espazo e o tempo foron coñecidas de xeito popular.

Gauss demostrou que non hai razón para que a xeometría do espazo deba ser euclidiana, o que significa que se un físico pon unha marca, e un cartógrafo permanece a unha certa distancia e se mide a súa lonxitude por triangulación baseada na xeometría euclidiana, entón non está garantido que se dea a mesma resposta se o físico leva a marca con el e mide a súa lonxitude directamente. Por suposto, para unha marca non podería medirse na práctica a diferenza entre as dúas medidas, pero existen medidas equivalentes que deben detectar a xeometría non euclidiana do espazo-tempo directamente.

O principio da Relatividade xeral

Segundo a relatividade xeral, os obxectos compórtanse de igual xeito na Terra que nunha sala pechada cunha aceleración igual á da gravidade terrestre. Así un observador dentro da sala pechada non podería distinguir, ao ver caer a pelota, se se encontra inmóbil na Terra, ou no espazo cunha aceleración igual ao valor da gravidade terrestre: 9,79m/s².

O postulado base da Teoría da Relatividade xeral especifica que son fisicamente equivalentes os sistemas acelerados e mailos sistemas sometidos a campos gravitacionais. Nas propias palabras de Einstein no seu traballo de 1915:

Nós iremos polo tanto asumir a completa equivalencia física entre un campo gravitacional e a correspondente aceleración dun sistema de referencia. Esta hipótese estende o principio da relatividade especial para sistemas de referencia uniformemente acelerados.

Por este principio, unha persoa nunha sala pechada, acelerada por un foguete coa mesma aceleración que a da gravidade na Terra (9,79 m/s²) non podería descubrir se a forza que a prende ao chan ten orixe no campo gravitacional terrestre ou se é debida á aceleración da propia sala a través do espazo e viceversa. Un persoa nunha sala en órbita ou caída libre en dirección a un planeta non saberá dicir por observación local se se atopa na órbita do planeta ou no espazo profundo, lonxe de calquera corpo celeste.

Isto tamén implica, e este é o punto importante do principio anterior, que a masa que sofre os efectos do campo gravitacional e maila masa que aparece nas leis do movemento de Newton son a mesma constante. Isto pode parecer obvio a priori, mais nótese que a masa nas leis de Newton é a que responde a forzas xerais e é responsable da inercia ao movemento. Por iso se chama masa inercial. A outra masa, que aparece na lei da gravitación, acóplase con outras masas gravitacionais para crear a atracción gravitacional. Estas non teñen por que ser a mesma, mais sono, e isto é un resultado experimental. O principio da Relatividade xeral ten, polo tanto, como consecuencia outro principio: a equivalencia entre masa gravitacional e inercial.

Comprobacións experimentais

Unha comprobación experimental da Teoría da Relatividade xeral é o experimento de Pound-Rebka (1959), que detectou o cambio na lonxitude de onda da luz dunha fonte de cobalto xurdindo por 22,5 metros contra a gravidade nun local do Laboratorio de Física Jefferson na Universidade Harvard.

Tamén é unha comprobación a cadencia dun reloxo atómico nun satélite do sistema GPS arredor da Terra, que debe ser corrixida por efecto da menor gravidade na órbita do satelite (estes reloxos adiantan uns 38 microsegundos cada 24 horas terrestres), para manter a coherencia co resto dos satélites da rede GPS, e entre estes e o tempo horario dos usuarios do sistema na Terra. En 2018 a precisión comprobada é 4 picosegundos por período orbital de 13 horas (menos de 0,4·10⁻¹⁴ %).

O experimento BOOMERanG descubriu unha estrutura xeométrica do Universo coherente cos postulados da Teoría.

Primeiros pasos

Einstein, autor da teoría da relatividade, en 1947.

Un dos descubrimentos máis importantes do século XX, feito por Einstein, é que se poden presentar os efectos da gravitación na forma dunha xeometría cuatridimensional.

O primeiro descubrimento nesta dirección, feito por Minkowski baseándose no traballo de Einstein sobre a Relatividade restricta, foi o de que espazo e tempo son na verdade unha única entidade, que hoxe é chamada espazo-tempo.

Das ideas que levaron á Relatividade restricta, sen dúbida a máis importante para entender o papel da gravitación na Física é a idea, chamada de principio de relatividade restrita, de que as leis da física deben ser escritas da mesma forma en referenciais en movemento uniforme relativo. Este principio debe ser obedecido por calquera lei da física que pretenda ser unha representación fiel dalgunha parcela da realidade.

Einstein supuxo que a gravidade, debido ao principio de equivalencia entre masa inercial e gravitacional, sería un tipo de forza inercial, isto é, do tipo que aparece en sistemas non inerciais (en movemento acelerado), como por exemplo a forza centrífuga nun carrusel.

Con esta idea en mente e xeneralizando a idea da Relatividade restrita, Einstein propuxo que:

As leis da física deben ser escritas da mesma forma en calquera sistema de coordenadas, en movemento uniforme ou non.

A gravitación acóplase a todas as outras teorías da Física por esta vía da invariancia baixo mudanza de coordenadas xeneralizadas.

Este é o concepto máis importante da Teoría. Dicir que unha sala en caída libre, un laboratorio en órbita da Terra ou nunha nave no espazo interestelar son referenciais equivalentes pode parecer estraño. Mais está o feito común de que nestes referenciais ninguén, nin obxecto ningún, está sometido a forzas externas. Nin mesmo á forza da gravidade: cando se está en caída libre, nada é puxado pola gravidade, unha vez que no ambiente en caída libre ningún obxecto se move se non se aplica algunha forza sobre el, e esta é exactamente a definición dun referencial inercial. Chámaselle a estes ambientes “ambientes de gravidade cero” e son moito máis comúns hoxe en día do que se pode imaxinar.

Os laboratorios en órbita ou en caída libre son o que na Terra hai máis próximo a un referencial inercial ideal. Polo tanto, se fose necesario realizar un experimento nun lugar libre de forzas externas, hai dúas opcións na Terra: entrar nun avión, subir ata algunhas decenas de quilómetros de altura e deixarse caer en caída libre (dentro dun avión, nun voo parabólico, de forma que non se sufra o rozamento do ar), ou usar unha estación espacial en órbita. O postulado da Relatividade xeral é exactamente a formulación da idea de que nestes referenciais, ou en calquera outro no espazo profundo, lonxe de calquera corpo celeste, as leis da física deben ser as mesmas e deben se escribir do mesmo xeito.

A ligazón coa xeometría

Como se dixo anteriormente, dentro do postulado da relatividade xeral, todos os referenciais físicos son localmente equivalentes. Entender por que se utiliza o termo localmente é simple: un observador en órbita ou no espazo profundo non ten como decidir por experimentación local se o seu referencial é inercial ou non. Mais se se lle permite analizar o espazo arredor seu, é obvio que diferenzas aparecerán. No primeiro caso, un observador, analizando arredor de si, recoñecerá axiña que está en órbita dalgún corpo, pois o seu movemento non é rectilíneo nin uniforme con relación ás estrelas; no segundo poderá concluír que está en movemento rectilíneo uniforme con relación ás estrelas do fondo.

Xeodésica no espazo-tempo dunha partícula parada nun punto do plano x-y.

O punto importante é que o movemento natural detectado por un observador difire do observado por outro, a pesar de que localmente eles concorden en relación ao tipo de referencial no que se encontran. Esta idea de movemento natural (que non causa o aparecemento de forzas externas no referencial local) é representada matematicamente polo concepto de xeodésica, isto é, a menor distancia entre dous puntos nunha xeometría calquera. Noutras palabras, se o seu movemento é unha xeodésica, localmente o seu referencial é inercial e, viceversa: se localmente o seu referencial é inercial, o seu movemento deberá ser unha xeodésica.

Pódese concluír, polo tanto, que, unha vez que as xeodésicas son diferentes, as xeometrías do espazo-tempo nos dous casos son diferentes. E como o que difire dun caso ao outro é a presenza dunha masa próxima, chégase á conclusión de que a diferenza na xeometría debe ser causada por esta masa. Noutras palabras, a masa dun corpo altera a xeometría do espazo-tempo arredor seu. O espazo-tempo aquí é mesmo o concepto da Relatividade restricta onde cada punto do espazo-tempo é descrito por catro coordenadas: tres de posición e unha de tempo; unha xeodésica no espazo-tempo é unha curva especial descrita por estes catro números.

A idea importante para entender a fondo os conceptos básicos da relatividade xeral é entender o que significa o movemento dun corpo neste espazo-tempo de catro dimensións: non existe movemento espacial sen movemento temporal; isto é, no espazo-tempo non é posible que un corpo se mova nas dimensións espaciais sen se mover no tempo. Mais, mesmo cando non nos movemos espacialmente, estámonos movendo na dimensión tempo; mesmo sentados agora lendo este artigo, estámonos movendo no tempo, cara ao futuro. Este movemento é tan válido na xeometría do espazo-tempo coma os que estamos afeitos a ver no día a día. Polo tanto, no espazo-tempo estamos sempre en movemento!, e a nosa idea de estar parados significa apenas que atopamos unha forma de non nos mover nas direccións espaciais senón só no tempo. (Véxase o exemplo deste tipo de xeodésica na figura do lado).

Órbita xeodésica no espazo-tempo dunha partícula próxima a un corpo material.

Imaxinemos agora un observador no espazo profundo. Supóñase que está parado, isto é, nun movemento xeodésico en liña recta cara ao futuro. Se agora se coloca instantaneamente a rente seu unha masa suficientemente grande, a deformación que esta masa causará no espazo-tempo na súa veciñanza curvará e alterará as coordenadas orixinais do espazo-tempo no lugar. O efecto é que aquel movemento que era só unha liña recta na dirección temporal tamén ocorrerá agora nas novas coordenadas espaciais. A liña cúrvase e enrólase arredor do corpo mentres este se move na dirección do tempo futuro. E o observador comeza a moverse espacialmente debido á distorsión da xeometría causada pola masa, e non debido á presenza dunha forza. Isto era o efecto que se acostuma chamar de gravidade mais que, con esta teoría, é unha distorsión da xeometría do espazo-tempo debido á presenza dunha masa.

Nótese que é común representar a curvatura do espazo-tempo con figuras que representan unha membrana elástica formando foxos creados por masas pesadas sobre esa membrana. Esta representación é, como mínimo, fantasiosa, pois mostra só a curvatura espacial dun espazo de dúas dimensións, sen considerar o efecto do tempo. Dificilmente pode ser considerada unha boa representación do que realmente acontece. Este exemplo dá unha forma de ver a curvatura a través de efectos sobre as liñas xeodésicas:

En cada punto do espazo dispárase ou sóltase apenas unha pequena masa de proba e obsérvase a súa traxectoria. Dende un punto do seu referencial inercial dispárase unha masa en cada un dos seus eixos de coordenadas espaciais e obsérvase: obviamente, se as masas continuasen indefinidamente en liña recta, o observador estará nun espazo-tempo plano (espazo de Minkowski); no caso contrario, as traxectorias poderán lle dar información sobre a curvatura na rexión. Esta é a mellor maneira de poder describir un obxecto que posúe catro dimensións para seres que viven soamente en tres dimensións.

Unha representación fantasiosa da curvatura do espazo-tempo causada por unha masa.

Xeometría do espazo-tempo

É preciso esclarecer un punto anterior, mencionado de paso, mais que tivo consecuencias importantísimas. Dixérase que no espazo-tempo non lle é posible a un obxecto moverse nas direccións espaciais sen se mover tamén no tempo. O motivo é simple: no plano espacial, se un obxecto se move dun punto a outro sen se mover na dirección temporal, a velocidade será infinita; por outra banda, da Teoría da Relatividade especial sábese que a maior velocidade posible para algo material, no universo, é a velocidade da luz. Polo tanto este postulado da Relatividade especial crea inmediatamente neste espazo-tempo dúas rexións distintas: unha rexión á que se pode ter acceso, e rexións ás que non se pode ter acceso inmediato. Isto é unha característica diferente dun espazo de catro dimensións calquera, onde non hai restrición ningunha entre as rexións do espazo, nin unha dirección especial.

A relatividade restricta, polo tanto, impón sobre a xeometría do espazo-tempo unha restrición fundamental e distinta do que se esperaría dun espazo euclidiano de catro dimensións, por exemplo. Esta diferenza reflíctese na estrutura básica da xeometría.

Pódese mostrar como estas diferenzas se reflicten na noción de distancia, que na Relatividade Especial se chama intervalo, para non evocar a mesma idea de distancia euclidiana. Se se quixer medir a distancia entre dous puntos nun espazo de tres dimensións, usarase a fórmula de Pitágoras:

$s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}$

Incluíndo o tempo para ter o espazo-tempo, poderíase imaxinar unha fórmula equivalente para a distancia entre dous puntos:

$s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}$

Nótese que se tivo o coidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no baleiro, para ter unha lonxitude, xa que non ten sentido sumar tempo con distancia. Para puntos moi próximos (lémbrese que hai que manter local a análise para poder garantir que se está nun referencial inercial) pódese escribir:

$\Delta s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta {\vec {x}})^{2}$

Mais isto non reflicte a característica esencial do espazo-tempo que se está a discutir. A distancia expresada na fórmula anterior é simplemente a distancia no espazo euclidiano de catro dimensións. O que se sabe é que as velocidades espaciais posibles son sempre menores que a velocidade da luz:

$\left|{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right|\leq c$

E isto, de certo xeito, débese reflectir na xeometría que se está a procurar. E está, como se vai demostrar. Elevando ao cadrado para eliminar o módulo, e reorganizando os termos, pódese escribir tal restrición como:

$(d{\vec {x}})^{2}\leq c^{2}dt^{2}$

Repárese en que a expresión previa é o equivalente matemático do que se acaba de dicir: os movementos espaciais válidos deben ser menores que c dt para que a velocidade do movemento sexa menor que o da luz. Comparando esta expresión coa da distancia nun espazo euclidiano, dada máis enriba, vese unha semellanza. Pódese entender agora que o termo ds :

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d{\vec {x}}^{2}\geq 0$

pode ser utilizado como definición para o cálculo de intervalos no espazo-tempo.

Para completar, fai falla agora entender como esta medida de intervalos pode ser xeneralizada para un sistema calquera de coordenadas.

Matemática da Relatividade xeral

Para estender as leis da física no contexto de sistemas de coordenadas xerais, débese dominar un extenso arsenal de ferramentas matemáticas. Mesmo na mecánica clásica, por exemplo, foron desenvolvidas unha cantidade enorme de ferramentas para traballar os sistemas físicos en diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianos, esféricas, cilíndricas etc. A pesar dos nomes, ningún destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é xeral abondo para causar alteración na xeometría. Son formas de aproveitar as simetrías do problema e axudan, polo tanto, a simplificar a solución. Na Relatividade xeral precísase estender este coñecemento ás transformacións de coordenadas que alteren a xeometría do espazo-tempo. Para isto son necesarias unha síntese e unha xeneralización deste coñecemento matemático nun novo cálculo, o cálculo tensorial. Por sorte, esta síntese estaba sendo creada polo matemático Tullio Levi-Civita, baseándose nos traballos anteriores de Richard Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época en que Einstein iniciou o seu traballo na Relatividade xeral. De feito, Einstein aprendeu os conceptos directamente de Levi-Civitta.

Con esta nova ferramenta, pódese xeneralizar o concepto de cálculo de intervalos do espazo-tempo, introducindo o tensor métrico para o espazo-tempo:

${\frac {}{}}ds^{2}=g_{ix}dx^{i}dx^{x}$

A notación con índices, chamada notación clásica do cálculo tensorial, posúe a convención de que índices repetidos, un superior e outro inferior, representan unha suma no conxunto de índices. Neste caso os índices varían de 0 ata 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expresión que se obtivo anteriormente se se escribe o tensor ${\frac {}{}}g_{ix}$ de forma matricial como:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

O punto importante a entender aquí é que, no espazo-tempo curvo, o tensor métrico non posúe máis elementos constantes como na fórmula de máis enriba. Pasan a ser funcións das coordenadas espazo-temporais que conteñen informacións sobre a xeometría local. Mesmo así, a expresión para o cálculo de intervalos aínda continúa sendo escrita da mesma forma. E isto reflicte a idea básica do cálculo tensorial: permitir escribir calquera ecuación independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peza fundamental da teoría da Relatividade xeral e é un tensor simétrico, isto é $g_{ix}=g_{xi}$. Isto significa que en troques de haber 16 compoñentes $g_{ix}$, téñense apenas 10 compoñentes independentes.

O tensor métrico posúe informacións non só sobre como se calculan as distancias, senón tamén de como se realizan outras operacións xeométricas en espazos curvos, coma o transporte paralelo de vectores e outros obxectos matemáticos. É a través del que se obtén a expresión para a curvatura do espazo-tempo (Ecuacións de campo de Einstein) e se obtén o Tensor de Einstein, utilizado na ecuación da Relatividade xeral, que resume a interacción da xeometría coa materia:

$G_{ix}=R_{ix}-{R \over 2}g_{ix}+\Lambda g_{ix}={8\pi G \over c^{4}}T_{ix}$

onde $G_{ix}$ é o tensor de Einstein, $R_{ix}$ son as compoñentes do Tensor de curvatura de Ricci, $R$ é a Curvatura escalar, $g_{ix}$ son as compoñentes do tensor métrico, $\Lambda$ é a Constante cosmolóxica, $T_{ix}$ son as compoñentes do Tensor de tensión-enerxía que describe a materia e enerxía nun punto dado do espazo-tempo e $G$ é a Constante da gravitación universal, a mesma da lei da gravitación de Newton. O Tensor de Ricci e maila Curvatura Escalar son derivados do tensor métrico, como ficou dito enriba.

Solucións da ecuación de Einstein

A primeira solución exacta da ecuación de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada métrica de Schwarzschild, e é a solución para o caso dunha masa esférica estacionaria, isto é, sen rotación da masa. Esta foi tamén a primeira solución na que se obtiveron buratos negros como parte do resultado.

As solucións da ecuación de Einstein son obtidas a partir dunha determinada métrica. Propor unha métrica correcta é unha parte importante e difícil do problema. Estas son algunhas das solucións coñecidas da ecuación de Einstein:

1. Métrica de Schwarzschild, para o caso dunha masa esférica estacionaria.
2. Métrica de Kerr, que describe o caso dunha masa esférica en rotación.
3. Métrica de Reisner-Nordstron, para o caso dunha masa esférica con carga eléctrica.
4. Métrica de Kerr-Newman, para o caso dunha masa en rotación con carga eléctrica.
5. Métrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada en cosmoloxía coma modelo dun universo en expansión.
6. Métrica de ondas-pp, que describe varios tipos de ondas gravitacionais.
7. Métrica dos "worm holes", ou "buratos de verme", usada para describir viaxes no tempo.

As solucións 1, 2, 3 e 4 inclúen buratos negros como parte do resultado.

Situación actual

A relatividade xeral ten emerxido como un modelo altamente fiábel de gravitación e cosmoloxía, que até agora subsistíu a cada proba inequívoca de observación e experimentación. Así a todo, hai fortes indicios de que a teoría é incompleta. As cuestións da gravitación cuántica e a da realidade da singularidade gravitacional permanecen abertas. Datos de observacións que son tomados como proba de enerxía escura e materia escura poderían indicar a necesidade dunha nova física e a chamada anomalía das naves Pioneer, que aínda podería admitir unha explicación convencional, tamén podería ser un prenuncio dunha nova física. Mesmo considerando esas cuestións, a relatividade xeral é rica en posibilidades de exploración adicional. Matemáticos relativistas están á procura de entender a natureza das singularidades e das propiedades fundamentais das ecuacións de Einstein, e execútanse simulacións de computador cada vez máis poderosas, como aquelas que describen a fusión de buracos negros. A carreira para a primeira detección directa de ondas gravitacionais continúa a ritmo acelerado, na esperanza de crear oportunidades para testar a validez da teoría para campos gravitacionais moito máis fortes do que foi posíbel até o momento. Máis de noventa anos despois da súa publicación, a relatividade xeral continúa a ser unha área moi activa de investigación.

Véxase tamén

Bibliografía

• Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; Qusailah, M. S. S. (2007). "Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux" (en inglés). 
• Bartusiak, Marcia (2000). Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time (en inglés). Berkley. ISBN 978-0-425-18620-6. 
• Blanchet, Luc (2006). "Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries". Living Rev. Relativity (en inglés) 9. Arquivado dende o orixinal o 15 de setembro de 2019. Consultado o 13 de novembro de 2015. 
• Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha, S. (2008). "The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits" (en inglés). 
• Friedrich, Helmut (2005). "Is general relativity 'essentially understood'?". Annalen Phys. (en inglés) 15: 84–108. doi:10.1002/andp.200510173. 
• Futamase, T.; Itoh, Y. (2006). "The Post-Newtonian Approximation for Relativistic Compact Binaries". Living Rev. Relativity (en inglés) 10. Consultado o 13 de novembro de 2015. 
• Lehner, Luis (2001). "Numerical Relativity: A review". Class. Quant. Grav. (en inglés) 18: R25–R86. doi:10.1088/0264-9381/18/17/202. 
• Lehner, Luis (2002). Numerical Relativity: Status and Prospects (en inglés). 
• Maddox, John (1998). What Remains To Be Discovered (en inglés). Macmillan. ISBN 0-684-82292-X. 
• Nieto, Michael Martin (2006). "The quest to understand the Pioneer anomaly" (PDF). EurophysicsNews (en inglés). 37(6): 30–34. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 29 de xuño de 2007. Consultado o 13 de novembro de 2015. 
• Penrose, Roger (1965). "Gravitational collapse and spacetime singularities". Physical Review Letters (en inglés) 14: 57–59. doi:10.1103/PhysRevLett.14.57. 
• Penrose, Roger (1969). "Gravitational collapse: the role of general relativity". Rivista del Nuovo Cimento (en inglés) 1: 252–276. 
• Penrose, Roger (2004). A. A. Knopf, ed. The Road to Reality (en inglés). ISBN 0679454438. 
• Will, Clifford M. (1993). Theory and experiment in gravitational physics (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6. 
• Will, Clifford M. (2006). "The Confrontation between General Relativity and Experiment". Living Rev. Relativity (en inglés). Consultado o 13 de novembro de 2015. 

Ligazóns externas

• Sean M. Carroll (1997). Institute for Theoretical Physics. University of California, ed. "Lecture Notes on General Relativity" (en inglés). Santa Barbara. Arquivado dende o orixinal o 15 de setembro de 2019. Consultado o 13 de novembro de 2015. 
• University of Illinois, ed. (1995). "General Relativity" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 31 de outubro de 2015. Consultado o 13 de novembro de 2015.