Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rⁿ ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto.

(F^{-1}(p))'=(F'(p))^{-1}\,

Enunciado

A versión en $\mathbb {R} ^{n}$ do teorema é a seguinte:

Sexa $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ unha función C¹. Supoñendo que para $a\in A$ , a diferencial $Df(a)\,$ é invertible e que $f(a)=b\,$ , entón existen abertos $U,V\subset \mathbb {R} ^{n}$ de modo que $a\in U$ , $b\in V$ e $f:U\rightarrow V$ é unha función bixectiva, polo que a inversa $f^{-1}:V\rightarrow U$ de $f\,$ é C¹ e polo tanto $Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,$ .

Exemplo

Considerando a función F de R² en R² definida por

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}

O seu xacobiano é

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}

e o seu determinante

\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!

Coma o determinante e^2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R², existe unha contorna de p na que F é invertible.

Variedades diferenzables

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F : M → N entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F,

(dF)_p : T_pM → T_F(p)N

é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que

F|_U : U → F(U)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é un difeomorfismo local.

Inversa global

O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:

$f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad m\geq n,\quad f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$

Pode demostrarse que existe unha constante $\scriptstyle c(\Omega )$ se cumpre:

$\max _{x\in {\bar {\Omega }}}\|Du_{f}(x)\|=\sup _{x\in \Omega }\|Du_{f}(x)\|<c(\Omega )\leq 1$

De maneira que a función f admite inversa global, onde u_f é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:

$u_{f}(x)=f(x)-x\in \mathbb {R} ^{n}$

Pode demostrarse que $\scriptstyle c(\Omega )=1$ se o dominio $\scriptstyle \Omega$ é convexo, mentres que un dominio non convexo require $\scriptstyle c(\Omega )<1$ .