Teorema de Tolomeo

O teorema de Tolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Tolomeo.

Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:

{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}

Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.

Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:

En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.

Demostración xeométrica

Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
1. Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
2. O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
3. É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
4. Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.

O teorema de Tolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.^[1]

Exemplo

Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Tolomeo dá neste caso,