Teorema do coseno

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos(\gamma )$

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.

Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

Historia

Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo. A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

«Nos triángulos obtusángulos, o cadrado do lado oposto ao ángulo obtuso é maior que os cadrados dos lados que comprenden o ángulo obtuso en dúas veces o rectángulo comprendido por un lado dos do ángulo obtuso sobre o que cae a perpendicular e a recta exterior cortada pola perpendicular, até o ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.

Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2\ CA\ CH$

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.

O teorema e as súas aplicacións

O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo $\gamma \,$ é recto ou, dito doutro xeito, cando $\cos \gamma =0\,$, o teorema do coseno redúcese a:

$\,c^{2}=a^{2}+b^{2}$

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.

O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar

• o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$.

• os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

$\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'

$\,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma$.

Demostracións

Por repartición de áreas

Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.

Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que

• a², b², c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:

• En verde, as áreas a², b² á esquerda, e a área , c² á dereita.
• En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
• En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que $a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\,\cos \gamma$, equivalente ao Teorema do coseno.

Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.

A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra

• En verde a², b² á esquerda e c² á dereita.
• En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
• En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá $\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}$, como queríamos demostrar.

Polo teorema de Pitágoras

Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo $\gamma$ é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos.

Caso 1: c é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así:

(left) $c^{2}=h^{2}+u^{2}\,$

Pero, a lonxitude h tamén se calcula así:

(left) $h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}\,$

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu\,$

Pola definición de coseno, tense:

$cos\gamma \,={\frac {b-u}{a}}$

e polo tanto:

$u=b-a\,\cos \gamma \,$

Substituímos o valor de u na ecuación para $c^{2}$, concluíndo que:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma$

co que conclúe a proba do primeiro caso.

Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente $c^{2}=h^{2}+u^{2}$ pero neste caso $h^{2}=a^{2}-(b+u)^{2}$. Combinando ambas ecuacións obtemos $c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}$ e deste xeito:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu\,$.

Da definición de coseno, tense $cos\gamma \,={\frac {b+u}{a}}$ e polo tanto:

$u=a\,\cos \gamma -b\,$.

Substituímos na expresión para c² e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \,$.

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

Pola potencia dun punto con respecto a un círculo

Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

$AP\cdot AL=AC\cdot AK=AC(AC+CK)$.

Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que

$AP\cdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}$.

Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que

$AC(AC+CK)=b(b-2a\,cos(\gamma ))$.

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\;b\,\cos(\gamma )$

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

Polo cálculo vectorial

Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:

$c^{2}\,$	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}$
	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}$
	$=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}$
	$=\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}$
	$=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

Xeneralización en xeometrías non euclidianas

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas a, b e c ; ángulos α, β e γ.

Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica

$\,R=1/{\sqrt {|K|}}$.

Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:

$\,a=BC/R$,

$\,b=AC/R$,

$\,c=AB/R$.

No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

Xeometría esférica

Artigo principal: Xeometría esférica.

Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando

$\,a<\!\!<1$,

esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :$\,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3})$ etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos c$

Xeometría hiperbólica

Artigo principal: Xeometría hiperbólica.

Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma$.

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados

$\,\sinh a=a+O(a^{3})$ etc.,

$\,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3})$ etc.

Xeneralización no espazo euclidiano

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos.

Consideremos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ do espazo euclidiano, sendo:

$\,\mathrm {S} _{k}$ a cara oposta ao vértice $\mathrm {A} _{k}\$;

$\,s_{k}$ a superficie de $\mathrm {S} _{k}\$;

$\,\Delta _{k}$ o plano que contén a cara $\mathrm {S} _{k}\$;

$\,\theta _{ij}$ o ángulo diedral ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$.

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

$\,s_{4}^{2}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}-2s_{1}s_{2}\cos \theta _{12}\,$

$-2s_{1}s_{3}\cos \theta _{13}-2s_{2}s_{3}\cos \theta _{23}\,$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Los Elementos, tomo II, Euclides. (en castelán)
• Law of cosines, en Math World (en inglés)
• Éfimov, N. (1981). Moscova : Éditions Mir, ed. Géométrie Supérieure. OCLC 11732242. 
• Lions, Jacques Louis (1980). París : Didier, ed. Petite Encyclopédie des Mathématiques. OCLC 23703843. 

Outros artigos

• Trigonometría
  • Triangulación
  • Trigonometría esférica
  • Función trigonométrica
• Xeometría do triángulo
  • Teorema de Pitágoras
  • Teorema do seno
• Matemáticos
  • Euclides
  • al-Battani
  • Ghiyath al-Kashi
  • François Viète