Teorema do trisector de Morley

Se cada ángulo vértice do triángulo externo se divide en trisectores, o teorema do trisector de Morley indica que o triángulo rosa do centro será equilátero.

En xeometría plana, o teorema do trisector de Morley afirma que en calquera triángulo, os tres puntos de intersección dos trisectores angulares adxacentes forman un triángulo equilátero, chamado primeiro triángulo de Morley ou simplemente triángulo de Morley. O teorema foi descuberto en 1899 polo matemático angloamericano Frank Morley. Ten varias xeneralizacións; en particular, se se cortan todos os trisectores, obtéñense outros catro triángulos equiláteros.

Probas

Hai moitas probas do teorema de Morley, algunhas delas son moi técnicas. Varias das primeiras probas baseáronse en delicados cálculos trigonométricos. As probas recentes inclúen unha demostración alxébrica de Alain Connes (estendendo o teorema a corpos xerais distintos da característica tres), e a demostración de xeometría elemental de John Conway. Este último comeza cun triángulo equilátero e mostra que se pode construír arredor del un triángulo que será semellante a calquera triángulo seleccionado. O teorema de Morley non aplica na xeometría esférica e hiperbólica.

Figura 1. Demostración elemental do teorema do trisector de Morley

Unha proba usa a identidade trigonométrica

$\sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )$

 

 

 

 

(1)

na que, empregando a identidade da suma de dous ángulos, pódese demostrar que é igual a

$\sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .$

A última ecuación pódese verificar aplicando dúas veces a identidade da suma de dous ángulos ao lado esquerdo e eliminando o coseno.

Os puntos $D,E,F$ están construídos sobre ${\overline {BC}}$ como se mostra. Temos $3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }$, a suma dos ángulos de calquera triángulo, polo que $\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.$ Polo tanto, os ángulos do triángulo $XEF$ son $\alpha ,(60^{\circ }+\beta ),$ e $(60^{\circ }+\gamma ).$

A partir da figura

$\sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}$

 

 

 

 

(2)

e

$\sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.$

 

 

 

 

(3)

Tamén da figura

$\angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta$

e

$\angle {AZB}=120^{\circ }+\gamma .$

 

 

 

 

(4)

A lei dos senos aplicada aos triángulos $AYC$ e $AZB$ produce

$\sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma$

 

 

 

 

(5)

e

$\sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .$

 

 

 

 

(6)

Expresamos a altura do triángulo $ABC$ de dous xeitos

$h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )$

e

$h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).$

Onde se utilizou a ecuación (1) para substituír $\sin(3\beta )$ e $\sin(3\gamma )$ nestas dúas ecuacións. Substituíndo as ecuacións (2) e (5) na ecuación con $\beta$ e as ecuacións (3) e (6) na ecuación con $\gamma$, temos:

$h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma$

e

$h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .$

Xa que os numeradores son iguais

${\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}$

ou

${\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.$

Posto que o ángulo $EXF$ e o ángulo $ZAY$ son iguais e os lados que forman estes ángulos están na mesma proporción, os triángulos $XEF$ e $AZY$ son semellantes.

Os ángulos semellantes $AYZ$ e $XFE$ igualan $(60^{\circ }+\gamma )$, e os ángulos semellantes $AZY$ e $XEF$ igualan $(60^{\circ }+\beta ).$ Con argumentos similares temos os ángulos base dos triángulos $BXZ$ e $CYX.$

En particular o ángulo $BZX$ ven sendo $(60^{\circ }+\alpha )$ e pola figura vemos que

$\angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.$

Substituindo temos

$(60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }$

onde se utilizou a ecuación (4) para o ángulo $AZB$ e, por conseguinte

$\angle {XZY}=60^{\circ }.$

Facendo do mesmo xeitoc os outros ángulos do triángulo $XYZ$ vemos que son de $60^{\circ }.$

Lado e área

O primeiro triángulo de Morley ten lonxitude de lado

$$a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,$$

onde R é o radio circundante do triángulo orixinal e A, B e C son os ángulos do triángulo orixinal. Xa que a área dun triángulo equilátero é ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},$ a área do triángulo de Morley pódese expresar como

$${\text{Área}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.$$

Triángulos de Morley

O teorema de Morley implica 18 triángulos equiláteros. O triángulo descrito no teorema do trisector anterior, chamado primeiro triángulo de Morley, ten como vértices, dados en coordenadas trilineares en relación a un triángulo ABC, do seguinte xeito:

$${\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]{\text{vértice }}B&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]{\text{vértice }}C&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}$$

Outro dos triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase segundo triángulo de Morley e vén dado polos seguintes vértices:

$${\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}B&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}C&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}$$

O terceiro dos 18 triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase terceiro triángulo de Morley e vén dado polos seguintes vértices:

$${\begin{array}{ccccccc}{\text{vértice }}A&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}B&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]{\text{vértice }}C&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}$$

O primeiro, segundo e terceiro triángulos de Morley son homotéticos por pares. Outro triángulo homotético está formado polos tres puntos X da circunferencia circunscrita do triángulo ABC no que a recta XX ^{− 1} é tanxente á circunferencia, onde X ^{− 1} denota o conxugado isogonal de X. Este triángulo equilátero, chamado triángulo circumtanxente, ten estes vértices:

$${\begin{array}{lllllll}{\text{vértice }}A&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]{\text{vértice }}B&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]{\text{vértice }}C&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}$$

Un quinto triángulo equilátero, tamén homotético cos outros, obtense facendo xirar o triángulo circumtanxente π/6 arredor do seu centro. Chamado triángulo circunnormal, os seus vértices son os seguintes:

$${\begin{array}{lllllll}{\text{vértice }}A&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]{\text{vértice }}B&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]{\text{vértice }}C&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}$$

Unha operación chamada "extraversión" pódese utilizar para obter un dos 18 triángulos de Morley a partir doutro. Cada triángulo pode ser extravertido de tres formas diferentes; os 18 triángulos de Morley e os 27 pares extravertidos de triángulos forman os 18 vértices e as 27 arestas da grafo de Pappus (debido a Pappus de Alexandría).

Centros triangulares relacionados

Usando os números da Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) temos:

O centro de Morley, X(356), centroide do primeiro triángulo de Morley, vén dado en coordenadas trilineares por

$$\cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B$$

O 1º centro de Morley–Taylor–Marr, X(357): O primeiro triángulo de Morley é homólogo ao triángulo $\triangle ABC$: As liñas que conectan cada unha un vértice do triángulo orixinal con cadanseu vértice oposto do triángulo de Morley coinciden no punto

$$\sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Connes, Alain (1998). A new proof of Morley's theorem. Publications Mathématiques de l'IHÉS S88. pp. 43–46. .
• Connes, Alain (December 2004). Symmetries (PDF). European Mathematical Society Newsletter 54. .
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. The Mathematical Association of America. LCCN 67-20607. 
• Francis, Richard L. (2002). Modern Mathematical Milestones: Morley's Mystery (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences 14. doi:10.35834/2002/1401016.  .
• Guy, Richard K. (2007). The lighthouse theorem, Morley & Malfatti—a budget of paradoxes (PDF). American Mathematical Monthly 114. pp. 97–141. JSTOR 27642143. MR 2290364. doi:10.1080/00029890.2007.11920398. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2010-04-01. .
• Oakley, C. O.; Baker, J. C. (1978). The Morley trisector theorem. American Mathematical Monthly 85. pp. 737–745. JSTOR 2321680. doi:10.2307/2321680.  .
• Taylor, F. Glanville; Marr, W. L. (1913–14). The six trisectors of each of the angles of a triangle. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 33. pp. 119–131. doi:10.1017/S0013091500035100. .

Outros artigos

• Trisección do ángulo
• Puntos de Hofstadter
• Centros de Morley

Ligazóns externas

• Morley's Miracle.