Mapa (matemáticas)

Un mapa é unha función, como na asociación de calquera das catro formas de cores en X coa súa cor en Y

En matemáticas, un mapa é unha función no seu sentido xeral.

O termo mapa pódese usar para distinguir algúns tipos especiais de funcións, como os homomorfismos. Por exemplo, un mapa linear é un homomorfismo de espazos vectoriais, mentres que o termo función linear pode ter este significado ou pode significar un polinomio linear. Na teoría de categorías, un mapa pode referirse a un morfismo. O termo transformación pódese usar indistintamente, mais a transformación refírese a miúdo a unha función dun conxunto en si mesmo. Tamén hai algúns usos menos comúns en lóxica e teoría de grafos.

Mapas como funcións

En moitas ramas das matemáticas, o termo mapa úsase como sinónimo de función, ás veces cunha propiedade específica de particular importancia para esa rama. Por exemplo, un "mapa" é unha "función continua" en topoloxía, unha "transformación linear" en álxebra linear, etc.

Algúns autores, como Serge Lang, usan "función" só para referirse a mapas nos que o codominio é un conxunto de números (é dicir, un subconxunto de R ou C), e reservan o termo mapear para funcións máis xerais.

Aos mapas de certos tipos déuselles nomes específicos. Estes inclúen homomorfismos en álxebra, isometrías en xeometría, operadores en análise e representacións en teoría de grupos.

Un mapa parcial é unha función parcial. A terminoloxía relacionada como dominio, codominio, inxectivo e continuo pódese aplicar igualmente a mapas e funcións, co mesmo significado. Todos estes usos pódense aplicar aos "mapas" como funcións xerais ou como funcións con propiedades especiais.

Como morfismos

Na teoría de categorías, "mapa" úsase a miúdo como sinónimo de "morfismo" ou "frecha", que é unha función que respecta a estrutura e, polo tanto, pode implicar máis estrutura que "función". Por exemplo, un morfismo $f:\,X\to Y$ nunha categoría concreta (é dicir, un morfismo que se pode ver como función) leva consigo a información do seu dominio (a fonte $X$ do morfismo) e o seu codominio (o destino $Y$). Na definición moi utilizada dunha función $f:X\to Y$, $f$ é un subconxunto de $X\times Y$ formado por todas as parellas $(x,f(x))$ para $x\in X$. Neste sentido, a función non captura o conxunto $Y$ que se usa como codominio; só o rango $f(X)$ está determinado pola función.

Véxase tamén

Bibliografía

• Halmos, Paul R. (1970). Naive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6. 

Outros artigos

• Función (matemáticas)
• Mapa Regular (xeometría alxébrica)