Rango (álxebra linear)

• o rango dunha familia de vectores é a dimensión do subespazo vectorial xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores linearmente independentes, o seu rango é o número de vectores;
• o rango dun mapa linear $f$ de $E$ en $F$ é a dimensión da súa imaxe, que é un subespazo vectorial de $F$. O teorema do rango relaciona a dimensión de $E$, a dimensión do kernel de $f$ e o rango de $f$;
• o rango dunha matriz é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus vectores columna;
• O rango dun sistema de ecuacións lineares é o número de ecuacións que ten calquera sistema escalonado equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema.

Rango dunha matriz

O rango dunha matriz $A$ (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares, $\mathbb {K}$ ), denotado ${\text{rank}}(A)$, pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

• o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
• a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de $A$;
• a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de $A$;
• a maior das ordes de menores non nulos de $A$;
• o menor tamaño das matrices $B$ e $C$ cuxo produto é igual a $A$.

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

Exemplo

Considere a seguinte matriz :

$A={\begin{pmatrix}1&0&2&3\\2&0&4&6\\0&2&2&0\\1&2&4&3\\\end{pmatrix}}$

Chamamos $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$ os vectores formados polas catro filas de $A$.

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de $A$ é igual ao da familia $(l_{1},l_{3},l_{4})$ .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e. $l_{4}=l_{1}+l_{3}$ ). Entón o rango de $(l_{1},l_{3},l_{4})$ é igual ao de $(l_{1},l_{3})$ .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que $(l_{1},l_{3})$ é de rango 2 e por tanto o rango de $A$ é 2.

Rango dunha forma cuadrática

O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

Rango dun mapa linear

Dados dous $K$-espazos vectoriais $E$, $F$, onde $K$ é un corpo conmutativo e un mapa linear $f$ de $E$ en $F$, o rango de $f$ é a dimensión da imaxe $f$.

Se $E$ e $F$ son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada $f$ en dúas bases de $E$ e $F$. En particular, o rango da matriz asociada $f$ non depende das bases escollidas para representar $f$. De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva ${\text{rank}}\left(P^{-1}AQ\right)={\text{rank}}(A)$, onde $A$ é a matriz que representa $f$ nun primeiro par de bases, e $P$, $Q$ son as matrices de cambio de bases.

Rango dunha familia de vectores

• Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
• Tamén podemos definir o rango dunha familia $u$ por : ${\text{rank}}(u)=\dim({\text{Vect}}(u))$ .

Nota : se $(u_{1},\dots ,u_{n})$ é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a $n$, entón o rango de $u$ é o rango do mapa linear $$\mathbb {K} ^{n}\rightarrow E:(r_{1},\dots ,r_{n})\mapsto \sum r_{i}u_{i}$$Onde $\mathbb {K}$ é o corpo dos escalares. A razón é esta : ${\text{Vect}}(u)$ é a imaxe deste mapa linear.

Teorema do rango

Teorema do rango: sexa $f$ unha aplicación linear de $E$ en $F$, $\dim(E)={\text{rank}}(f)+\dim({\text{Ker}}(f))$

Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo

No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa $K$ un corpo non necesariamente conmutativo e $M$ unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en $\mathbb {K}$. Chamamos rango de $M$ (en relación con $K$) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de $M$ en $K^{m}$ equipado coa súa estrutura de $K$-espazo vectorial pola dereita. Demostramos que o rango de $M$ tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de $M$ en $\mathbb {K} ^{n}$ equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerda.

Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz $A:={\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}$, onde $a$ e $c$ son dous elementos de $K$ que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda $K^{2}$, porque $c(a,1)-(ca,c)=(0,0)$. Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita $K^{2}$, porque $(a,ca)-(1,c)a=(0,0)$. O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda $K^{2}$. De feito, sexan $d$, $e$ escalares tal que $d(a,ca)+e(1,c)=(0,0)$. Entón (primeiros compoñentes) $e=-da$, polo tanto (segundos compoñentes) $dca-dac=0$. Posto que $a$, $c$ non conmutan, isto resulta en $d=0$ (ao multiplicar por $d^{-1}$ obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda $K^{2}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

Outros artigos

• Rango dun módulo libre.

Ligazóns externas

• WolframAlpha matrix rank calculator.