Teorema de factorización de Weierstrass

En matemáticas, e particularmente no campo da análise complexa, o teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función enteira (ou completa) pode representarse como un produto (posibelmente infinito) que inclúe os seus ceros. O teorema pódese ver como unha extensión do teorema fundamental da álxebra, que afirma que cada polinomio pode factorizarse en factores lineares, un por cada raíz.

Motivación

Está claro que calquera conxunto finito $\{c_{n}\}$ de puntos do plano complexo ten un polinomio asociado ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ cuxos ceros están precisamente nos puntos dese conxunto. A inversa é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra: calquera función polinómica $p(z)$ no plano complexo ten unha factorización ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ onde $a$ é unha constante distinta de cero e $\{c_{n}\}$ é o conxunto de ceros de $p(z)$ .

As dúas formas do teorema de factorización de Weierstrass pódense considerar como extensións do anterior a funcións enteiras. A necesidade de termos adicionais no produto demóstrase cando se considera ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ onde a secuencia $\{c_{n}\}$ non é finita. Nunca pode definir unha función enteira, porque o produto infinito non converxe. Así, en xeral, non se pode definir unha función enteira a partir dunha secuencia de ceros prescritos nin representar unha función enteira polos seus ceros usando as expresións que proporciona o teorema fundamental da álxebra. Pola contra, o teorema de Weierstrass substitúe estes por outros factores.

Unha condición necesaria para a converxencia do produto infinito en cuestión é a de cada un $z$ , os factores substituíndo $(z-c_{n})$ debe achegarse a 1 cando $n\to \infty$ . Polo tanto, é lóxico que se procuren funcións de factor que poidan ser 0 nun punto prescrito, aínda que permanezan preto de 1 cando non se atopen nese punto e, a maiores, non introduzan máis ceros que os prescritos. Os factores elementais de Weierstrass teñen estas propiedades e teñen o mesmo propósito que os factores $(z-c_{n})$ da factorización polinómica indicada enriba.

Factores elementais

Considere as funcións da forma ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ para $n\in \mathbb {N}$ . En $z=0$ , avalían a $1$ e teñen pendente plana de orde ata $n$ . Xusto despois de $z=1$ , caen drasticamente a algún pequeno valor positivo. En cambio, considere a función $1-z$ que non ten pendente plana pero, en $z=1$ , avalía exactamente a cero. Teña en conta tamén que para $| z | < 1$ ,

(1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).

Os factores elementais, tamén coñecidos como factores primarios, son funcións que combinan as propiedades de pendente cero e valor cero (ver gráfico):

E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

Para $| z | < 1$ e $n>0$ , pódese expresar como ${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$ e pódese ver como se executan esas propiedades.

A utilidade dos factores elementais ${\textstyle E_{n}(z)}$ reside no seguinte lema: ^[1]

Lema (15.8, Rudin) para $| z | \leq 1$ , $n\in \mathbb {N}$

\vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.

Existencia dunha función enteira con ceros especificados

Sexa $\{a_{n}\}$ unha sucesión de números complexos distintos de cero tal que $|a_{n}|\to \infty$ . Se $\{p_{n}\}$ é calquera sucesión de enteiros non negativos tal que para todos os $r>0$ ,

\sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,

logo a función

E(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})

é enteira con ceros só nos puntos $a_{n}$ . Se un número $z_{0}$ ocorre na sucesión $\{a_{n}\}$ exactamente $m$ veces, entón a función $E$ ten un cero en $z=z_{0}$ de multiplicidade $m$ .

A sucesión $\{p_{n}\}$ no enunciado do teorema sempre existe. Por exemplo, sempre poderiamos tomar $p_{n}=n$ e ter a converxencia. Tal sucesión non é única: mudala nun número finito de posicións ou tomar outra sucesión $p' n \geq p n$ , non romperá a converxencia.
O teorema xeneralízase no seguinte: as sucesións en subconxuntos abertos (e, polo tanto, rexións) da esfera de Riemann teñen funcións asociadas que son holomorfas neses subconxuntos e teñen ceros nos puntos da sucesión .

Teorema de factorización de Weierstrass

Sexa $ƒ$ unha función enteira, e sexan $\{a_{n}\}$ os ceros distintos de cero de $ƒ$ repetidos segundo a multiplicidade; supoña tamén que $ƒ$ ten un cero en $z = 0$ de orde $m \geq 0$ .^[a] Daquela existe unha función $g$ enteira e unha secuencia de números enteiros $\{p_{n}\}$ tal que

f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).

Inclúese aquí o caso dado polo teorema fundamental da álxebra. Se a secuencia $\{a_{n}\}$ é finita entón podemos tomar $p_{n}=0$ , $m=0$ e $e^{g(z)}=c$ para obter $\,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})$ .

Exemplos de factorización

As funcións trigonométricas seno e coseno teñen as factorizacións

\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)

\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)

mentres que a función gamma $\Gamma$ ten factorización

{\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},

onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.

A identidade coseno pódese ver como un caso especial de

{\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)

para $s={\tfrac {1}{2}}$ .

Teorema de factorización de Hadamard

Un caso especial do teorema de factorización de Weierstraß dáse para funcións enteiras de orde finita. Neste caso, o $p_{n}$ pódese tomar independente de $n$ e a función $g(z)$ é un polinomio. Así,

f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})

onde $a_{k}$ son esas raíces de $f$ que non son cero ( $a_{k}\neq 0$ ), $m$ é a orde do cero de $f$ en $z=0$ (o caso $m=0$ tómase como $f(0)\neq 0$ ), $P$ un polinomio (cuxo grao chamaremos $q$ ), e chamaremos $p$ ao número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}

converxe.

Isto chámase representación canónica de Hadamard. O número enteiro non negativo $g=\max\{p,q\}$ chámase o xénero (ou genus) da función enteira $f$ . A orde $\rho$ de $f$ satisfai

g\leq \rho \leq g+1.

Noutras palabras: se a orde $\rho$ non é un número enteiro, entón $g=[\rho ]$ é a parte enteira de $\rho$ . Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades: $g=\rho -1$ ou $g=\rho$ .