Función enteira

Na análise complexa, unha función enteira, tamén chamada función completa, é unha función de valores complexos que é holomorfa en todo o plano complexo. Exemplos típicos de funcións enteiras son os polinomios e a función exponencial, e calquera suma finita, produto e composición destas, como as funcións trigonométricas seno e coseno e as súas contrapartes hiperbólicas sinh e cosh, así como as derivadas e as integrais de funcións enteiras como a función erro. Se unha función enteira $f(z)$ ten unha raíz en $w$, entón $f(z)/(z-w)$, tomando o valor límite en $w$, é unha función enteira.

Por outra banda, o logaritmo natural, a función recíproca e a raíz cadrada non son todas funcións enteiras, nin se poden continuar analiticamente ata unha función enteira.

Unha función enteira transcendental é unha función enteira que non é un polinomio.

Así como as funcións meromorfas poden verse como unha xeneralización das fraccións racionais, as funcións enteiras poden verse como unha xeneralización dos polinomios.

En particular, se para as funcións meromorfas pódese xeneralizar a factorización en fraccións simples (o teorema de Mittag-Leffler sobre a descomposición dunha función meromorfa), entón para funcións enteiras hai unha xeneralización da factorización: o teorema de factorización de Weierstrass de funcións enteiras.

Propiedades

Toda función enteira $f(z)$ pode representarse como unha única serie de potencias

$\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\$

que converxe en todas as partes no plano complexo, polo tanto uniformemente en conxuntos compactos. O raio de converxencia é infinito, o que implica que

$\ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\$

ou, equivalentemente,

$\ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.$

Calquera serie de potencias que satisfaga este criterio representará unha función enteira.

O teorema de factorización de Weierstrass afirma que calquera función enteira pode ser representada por un produto que inclúe os seus ceros (ou "raíces").

O teorema de Liouville di que calquera función enteira limitada debe ser constante.

Orde e tipo

A orde (no infinito) dunha función enteira $f(z)$ defínese usando o límite superior como:

$\rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},$

onde $B_{r}$ é o disco de raio $r$ e $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ denota a norma suprema de $f(z)$ on $B_{r}$. A orde é un número real non negativo ou infinito (excepto cando $f(z)=0$ para todos os $z$). Noutras palabras, a orde de $f(z)$ é o ínfimo de todos $m$ tal que:

$f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{cando }}z\to \infty .$

O exemplo de $f(z)=\exp(2z^{2})$ demostra que isto non significa que $f(z)=O(\exp(|z|^{m}))$ se $f(z)$ é de orde $m$ .

Se $0<\rho <\infty ,$ tamén se pode definir o tipo:

$\sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.$

Se a orde é 1 e o tipo é $\sigma$, dise que a función é "de tipo exponencial $\sigma$ ". Se é de orde inferior a 1 dise que é de tipo exponencial 0.

Se $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$ entón a orde e o tipo pódense atopar polas fórmulas

${\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}.\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}$

Exemplos

Aquí temos algúns exemplos de funcións de varias ordes:

Orde ρ

Para números positivos arbitrarios $\rho$ e $\sigma$ pódese construír un exemplo dunha función enteira de orde $\rho$ e tipo $\sigma$ usando:

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}.$

Orde 0

• Polinomios distintos de cero
• $\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}$.

Orde 1/4

$f({\sqrt[{4}]{z}})$ onde $f(u)=\cos(u)+\cosh(u)$

Orde 1/3

$f({\sqrt[{3}]{z}})$ onde $f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{con }}\omega {\text{ raíz cúbica complexa de 1}}.$

Orde 1/2

$\cos \left(a{\sqrt {z}}\right)$ con $a\neq 0$ (para a que o tipo vén dado por $\sigma =|a|$ )

Orde 1

• $\exp(az)$ con $a\neq 0$ ( $\sigma =|a|$ )
• $\sin(z)$
• $\cosh(z)$
• as funcións de Bessel $J_{n}(z)$ e as funcións esféricas de Bessel $j_{n}(z)$ para valores enteiros de $n$
• función gamma recíproca $1/\Gamma (z)$ ($\sigma$ é infinito)
• $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)$

Orde 3/2

• Función de Airy $Ai(z)$

Orde 2

• $\exp(az^{2})$ con $a\neq 0$ ( $\sigma =|a|$ )
• A función G de Barnes ( $\sigma$ é infinito).

Orde infinita

• $\exp(\exp(z))$

Xénero ou Genus

As funcións enteiras de orde finita teñen a representación canónica de Hadamard (teorema de factorización de Hadamard):

$f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),$

onde $z_{k}$ son as raíces de $f$ que non son cero ($z_{k}\neq 0$), $m$ é a orde do cero de $f$ en $z=0$ (o caso $m=0$ significando $f(0)\neq 0$ ), $P$ un polinomio (cuxo grao chamaremos $q$), e $p$ é o número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}$

converxe. O número enteiro non negativo $g=\max\{p,q\}$ chámase o xénero ou genus da función enteira $f$.

Se a orde $\rho$ non é un número enteiro, entón $g=[\rho ]$ é a parte enteira de $\rho$. Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades: $g=\rho -1$ ou $g=\rho$ .

Por exemplo, $\sin$, $\cos$ e $\exp$ son funcións enteiras de xénero $g=\rho =1$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Boas, Ralph P. (1954). Entire Functions. Academic Press. ISBN 9780080873138. OCLC 847696. 
• Levin, B. Ya. (1980) [1964]. Distribution of Zeros of Entire Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4505-9. 
• Levin, B. Ya. (1996). Lectures on Entire Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0897-9. 

Outros artigos

• Fórmula de Jensen
• Teorema de Carlson
• Tipo exponencial
• Teorema de Paley-Wiener
• Teoría de Wiman-Valiron