Produto infinito

En matemáticas, para unha secuencia de números complexos a₁, a₂, a₃, ... o produto infinito

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots

defínese como o límite dos produtos parciais a₁ a₂ ... a_n, a medida que n aumenta sen límite. Dise que o produto converxe cando existe o límite e non é cero. En caso contrario, dise que o produto diverxe. Un límite cero é tratado especialmente para obter resultados análogos aos de sumas infinitas. Se o produto converxe, entón o límite dao valor de a_n a medida que n aumenta ata o infinito debe ser 1, mentres que a inversa en xeral non é certa.

Os exemplos máis coñecidos de produtos infinitos son probablemente algunhas das fórmulas para π, como os seguintes dous produtos, respectivamente de Viète (a fórmula de Viète, o primeiro produto infinito publicado en matemáticas) e John Wallis (produto de Wallis):

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}

{\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).

Criterios de converxencia

O produto de números reais positivos

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}

converxe a un número real distinto de cero se e só se a suma

\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})

converxe. Isto permite traducir os criterios de converxencia para sumas infinitas en criterios de converxencia para produtos infinitos.

Se a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ diverxe a $-\infty$ , entón a secuencia de produtos parciais da a_n converxe a cero. Dise que o produto infinito diverxe a cero.^[1]

Representacións de funcións de produtos

Un resultado importante sobre produtos infinitos é que toda función enteira f(z) (é dicir, cada función que é holomorfa sobre todo o plano complexo) pode factorizarse nun produto infinito de funcións enteiras, cada unha cunha única raíz como máximo. En xeral, se f ten unha raíz de orde m na orixe e ten outras raíces complexas en u₁, u₂, u₃, ... (listados con multiplicidades iguais ás súas ordes), entón

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace

onde λ_n son enteiros non negativos que se poden escoller para facer converxer o produto, e $\phi (z)$ é algunha función enteira (o que significa que o termo anterior ao produto non terá raíces no plano complexo). A factorización anterior non é única, xa que depende da escolla dos valores para λ_n. No entanto, para a maioría das funcións, haberá algún número enteiro non negativo p tal que λ_n = p dea un produto converxente, chamado representación canónica do produto. Este p chámase rango do produto canónico. No caso de que p = 0, esta toma a forma

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).

Isto pódese considerar como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra, xa que para polinomios, o produto faise finito e $\phi (z)$ é constante.

A maiores destes exemplos, destacan as seguintes representacións:

Función	Produto infinito	Notas
Polo simple	${\begin{aligned}{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{z^{n}/n}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}$
Función sinc	${\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$	Isto débese a Euler (produto infinito de Euler). A fórmula de Wallis para π é un caso especial disto.
Recíproca da función gamma	${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}$	Schlömilch
Función sigma de Weierstrass	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}$	Aquí $\Lambda _{*}$ é a retícula sen a orixe.
Q-símbolo de Pochhammer	$(z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})$	Amplamente unsado na teoría de q-análogos. A Función de Euler é un caso especial.
Función theta de Ramanujan	${\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}$	Unha expresión do produto triplo de Jacobi, tamén usado na expresión da función theta de Jacobi
Función zeta de Riemann	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$	Aquí p_n denota o n-ésimo número primo. Este é un caso especial do produto de Euler.

A última delas non é unha representación de produto do mesmo tipo que se discutiu anteriormente, xa que ζ non é unha función enteira. Pola contra, a representación do produto anterior de ζ(z) converxe precisamente para Re( z ) > 1, onde é unha función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica, esta función pódese estender unicamente a unha función analítica (aínda denotada ζ (z)) en todo o plano complexo agás no punto z = 1, onde ten un polo simple.

Notas

↑ Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Methods of Mathematical Physics. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.

Véxase tamén

Bibliografía

Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66165-0.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). Boston: McGraw Hill. ISBN 0-07-054234-1.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

Outros artigos

Ligazóns externas

[1] Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Methods of Mathematical Physics. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.

[1]