Teoría de feixes

En matemáticas, un feixe F sobre un espazo topolóxico dado X proporciona, para cada conxunto aberto U de X, un conxunto F(U), de estrutura máis rica. Á súa vez ditas estruturas: F(U), son compatibles coa operación de restrición dende un conxunto aberto cara a subconxuntos máis pequenos e coa operación de pegado de conxuntos abertos para obter un aberto maior. Un prefeixe é similar a un feixe, pero con el pode non ser posible a operación de pegado. Os feixes permiten discutir de maneira refinada sobre o que significa ser unha propiedade local, tal e como se fala cando se aplica a unha función.

Introdución

Os feixes son empregados en topoloxía, xeometría alxébrica e xeometría diferencial sempre que se quere gardar rastro dos datos alxébricos que varían con cada conxunto aberto do obxecto xeométrico dado. Son unha ferramenta global para estudar obxectos que varían localmente (i.e., dependendo do conxunto aberto). Funcionan como instrumentos naturais para o estudo do comportamento global de entidades que son de natureza local, como os conxuntos abertos, ou as funcións: continuas, analíticas, diferenciables...

Por considerarse un exemplo típico, sexa un espazo topolóxico X, e sexa para cada conxunto aberto U en X o conxunto F(U), que consta de todas as funcións continuas U $\rightarrow$ R. Se V é un subconxunto aberto de U, entón as funcións sobre U poden restrinxirse a V, e tense unha aplicación F(U) $\rightarrow$ F(V). O "pegado" trátase do seguinte proceso: suponse que os U_i son conxuntos abertos cuxa unión é U, e para cada i cóllese un elemento f_i $\in$ F(U_i), i.e. unha función continua f_i: U_i $\rightarrow$ R. Se estas funcións coinciden onde se solapan, entón pódense pegar xuntas de maneira que dean unha única forma de conseguir unha función continua f: U $\rightarrow$ R coincidente con todas as f_i. A colección de conxuntos F(U) xunto coas aplicacións restrición F(U) $\rightarrow$ F(V) forman un feixe de conxuntos sobre X. Realmente, os F(U) son aneis conmutativos e as aplicacións de restrición son homomorfismos de aneis, e F é ademais un feixe de aneis sobre X.

Un exemplo moi parecido obtense considerando unha variedade diferenciable X, e para cada conxunto aberto U de X, tomando o conxunto F(U) como o das funcións diferenciables U $\rightarrow$ R. Neste exemplo vai funcionar tamén o pegado e terase un feixe de aneis sobre X. Outro feixe sobre X asigna a cada conxunto aberto U de X o espazo vectorial de todas os campos vectoriales diferenciables definidos sobre U. A restrición e o pegado funcionará como no caso das funcións, e obteremos un feixe de espazos vectoriales sobre a variedade X.

Historia da teoría de feixes

As orixes máis primitivas da teoría de feixes son difíciles de atopar; seguramente son coextensivos coa idea da continuación analítica. Tomou ao redor de 15 anos extraer unha teoría de feixes autosuficiente do traballo fundacional en cohomoloxía.

1936: Eduard Čech introduciu a construción do nervio dun recubrimento aberto, que asocia un complexo simplicial a un recubrimento aberto.
1938: Hassler Whitney forneceu unha definición "moderna" da cohomoloxía, resumindo todo o traballo realizado dende que Alexander e Kolmogorov definisen as cocadeas.
1943: Norman Steenrod publicou sobre a homoloxía con coeficientes locais.
1945: Jean Leray publicou un traballo realizado nun campo de prisioneiros de guerra, motivado polas demostracións sobre teoremas do punto fixo na súa aplicación á teoría de ecuacións en derivadas parciais. Isto foi o comezo da teoría de feixes e das secuencias espectrais.
1947: Henri Cartan demostrou de novo o teorema de de Rham mediante métodos da teoría de feixes, na súa correspondencia con André Weil. Leray deu unha definición de feixe a través dos conxuntos pechados (os antigos carapaces).
1948: O seminario de Cartan puxo por primeira vez a teoría de feixes por escrito.
1950: Na segunda edición do seminario de Cartan sobre teoría de feixes empregouse a definición do espazo de feixes (éspace étalé), con estrutura de talos (stalkwise). Introducíronse os soportes, e a cohomoloxía con soportes. As aplicacións continuas fan xurdir as sucesións espectrais. Ao mesmo tempo Kiyoshi Oka introduciu a idea (semellante a aquela) dun feixe de ideais, en varias variables complexas.
1951: O seminario de Cartan demostrou os teoremas A e B baseados na obra de Oka.
1953: O teorema de finitude para feixes coherentes na teoría analítica foi demostrado por Cartan e Serre, así como a dualidade de Serre.
1954: O artigo de Serre Faisceaux algébriques cohérents (publicado en 1955) introduciu os feixes dentro da xeometría alxébrica. Estes ideas son explotados inmediatamente por Hirzebruch, quen escribiu un libro fundamental sobre métodos topolóxicos.
1955: Alexander Grothendieck en clases dadas en Kansas definiu a categoría abeliana e os prefeixes, e mediante o uso da resolución inxectiva permitiu usar directamente a cohomoloxía de feixes sobre todos os espazos topolóxicos, como funtores derivados.
1957: O artigo de Grothendieck chamado Tohoku reescribiu a álxebra homolóxica; proba a dualidade de Grothendieck (i.e., a dualidade de Serre para variedades singulares).
1958: Publicouse o libro de Godement sobre teoría de feixes. Aproximadamente ao mesmo tempo Mikio Satō propuxo as hiperfuncións, que terminan por verse "feixe-teoreticamente".
1957 en adiante: Grothendieck estendeu a teoría de feixes axustándoa ás necesidades da xeometría alxébrica, introducindo os esquemas e os feixes xerais sobre eles, a cohomoloxía local, a categoría derivada (con Verdier), e a topoloxía de Grothendieck. Alí xurdiron tamén a súa influente e sintética idea das "seis operacións" na álxebra homolóxica.

Neste punto os feixes convertéronse xa nunha parte fundamental no desenvolvemento da matemática, e o seu uso non se restrinxe de ningún modo á topología alxébrica. Máis tarde descubriuse que a lóxica nas categorías de feixes é intuicionista (adóitase a miúdo nomear esta observación como semántica Kripke-Joyal, pero probablemente debe de ser atribuída a un maior número de autores). Isto demostrou como algunhas das facetas da teoría de feixes pode remontarse tan lonxe como a Leibniz.

Definición formal

O primeiro paso é introducir o concepto de prefeixe, que captura a idea de asociar información local a un espazo topolóxico. O segundo paso é introducir un axioma adicional, chamado o axioma de pegado ou o axioma de feixe, que captura a idea de pegar información local para obter información global.

Definición de prefeixe

Sexa X un espazo topolóxico, e C unha categoría (a miúdo a categoría de conxuntos, de grupos abelianos, de aneis conmutativos, ou a de módulos sobre un anel fixo). Un prefeixe F de obxectos en C sobre o espazo X (un C-prefeixe sobre X) vén dado polos datos seguintes:

para cada conxunto aberto U en X, un obxecto F(U) en C
para cada inclusión de conxuntos abertos V $\subset$ U un morfismo F(U) $\rightarrow$ F(V) na categoría C, que se chama a "restrición de U a V". Escríbese como res_U,V.

Requírense dúas propiedades:

para cada conxunto aberto U en X, tense res_U,U =id_F(U), i.e., a restrición de U a U é a identidade.
dados calquera tres conxuntos abertos W $\subset$ V $\subset$ U, tense res_V,W ou res_U,V =res_U,W, i.e. a restrición de F(U) a F(V) e entón a F(W) é o mesmo que a restrición de F(U) directamente a F(W).

Esta definición pode darse facilmente en termos da teoría das categorías. Primeiro defínese a categoría dos conxuntos abertos sobre X como a categoría Top_X cuxos obxectos son os conxuntos abertos de X e cuxos morfismos son as inclusións. Top_X é entón a categoría correspondente á orde parcial $\subset$ sobre os conxuntos abertos de X. Un C-prefeixe sobre X é entón un funtor contravariante desde Top_X a C.

Se F é un prefeixe C-avaliado sobre X, e U é un conxunto aberto de X, entón F(U) chámase seccións de F sobre U, por analoxía coas seccións dos "fiber bundles". Se C é unha categoría concreta, entón cada elemento de F(U) chámase sección. F(U) a miúdo tamén se denota Γ(U,F).

Axioma do pegado

Os feixes son prefeixes sobre os cales as seccións sobre conxuntos abertos poden ser pegadas para dar seccións sobre abertos máis grandes. Establécese primeiro o axioma dunha maneira que require que C sexa unha categoría concreta.

Sexa U a unión da colección de conxuntos abertos {U_i}. Para cada U_i, escóllese unha sección f_i sobre U_i. Dise que os f_i son compatibles se para todo i e j,

res_{U_i,U_i $\cap$ U_j}(f_i)=res_{U_j,U_i $\cap$ U_j}(f_j).

Intuitivamente falando, se as f_i representan funcións, estase a dicir que calquera delas coincidirá con outra alá onde se solapen. O axioma de feixe di que se pode obter cos f_i unha sección única f sobre U cuxa restrición a cada U_i é f_i, i.e., res_{U,U_i}(f)=f_i. Algunhas veces isto dise con dúas axiomas, un garantindo a existencia e o outro a unicidade.

Parafraseando esta definición de maneira que funcione en calquera categoría, nótase que se poden escribir os obxectos e os morfismos envoltos nela nun diagrama parecido a este:

{\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){\rightarrow  \atop \rightarrow }\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})

A primeira aplicación aquí é o produto das aplicacións restrición res_{U,U_i,}:F(U) $\rightarrow$ F(U_i) e cada par de frechas representa as dúas restricións res_{U_i,U_i $\cap$ U_j}:U_i $\rightarrow$ U_i $\cap$ U_j e res_{U_j,U_i $\cap$ U_j}:U_j $\rightarrow$ U_i $\cap$ U_j. Cómpre facer notar que esas aplicacións esgotan todas as posibilidades en canto ás aplicacións restrición entre U, os U_i, e os U_i $\cap$ U_j.

A condición de que F sexa un feixe é exactamente a de que F(U) é o límite do resto do diagrama. Isto suxire que se debe de parafrasear a noción de recubrimento nun contexto categorial. Cando se fai isto, obtense un diagrama semellante ao de arriba:

\prod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{\rightarrow  \atop \rightarrow }\prod _{i}U_{i}\rightarrow U

É importante notar aquí que para formar os produtos no diagrama, débese mergullar a categoría Top_X nunha categoría completa. A condición de que U é a unión dos U_i é a de que U é un colímite do resto do diagrama.

O axioma de pegado é agora o que F converte todos os colímites en límites.

Exemplos

Calquera fibrado vectorial proporciona un feixe de conxuntos, collendo as seccións.
Os esquemas son espazos localmente anelados especiais, importantes en xeometría alxébrica; os feixes de módulos son importantes na teoría asociada.

Véxase tamén

Bibliografía

Bredon, Glen E. (1997). Sheaf theory. Graduate Texts in Mathematics 170 (2nd ed.). Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94905-5. MR 1481706.
Godement, Roger (1973). Topologie algébrique et théorie des faisceaux. París: Hermann. MR 0345092.
Grothendieck, Alexander (1957). Sur quelques points d'algèbre homologique. The Tohoku Mathematical Journal. Second Series 9. pp. 119–221. ISSN 0040-8735. MR 0102537. doi:10.2748/tmj/1178244839.
Hirzebruch, Friedrich (1995). Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. MR 1335917.
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994). Sheaves on manifolds. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 292. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-51861-7. MR 1299726.
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994). Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Universitext. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97710-2. MR 1300636.
Martin, W. T.; Chern, S. S.; Zariski, Oscar (1956). Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables. Bulletin of the American Mathematical Society 62. pp. 79–141. ISSN 0002-9904. MR 0077995. doi:10.1090/S0002-9904-1956-10013-X.
J. Arthur Seebach, Linda A. Seebach & Lynn A. Steen (1970) "What is a Sheaf", American Mathematical Monthly 77:681–703 Modelo:MR.
Serre, Jean-Pierre (1955). Faisceaux algébriques cohérents (PDF). Annals of Mathematics. Second Series 61 (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2). pp. 197–278. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. doi:10.2307/1969915. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 17 de xullo de 2011. Consultado o 03 de xuño de 2017. ^{Scholar search}
Swan, R. G. (1964). The Theory of Sheaves. University of Chicago Press.
Tennison, B. R. (1975). Sheaf theory. Cambridge University Press. MR 0404390.