Conectivo lóxico

En lóxica, un conectivo lóxico (tamén chamado operador lóxico) é un símbolo ou palabra que se usa para conectar dúas ou máis sentenzas (tanto na linguaxe formal como na linguaxe natural) dun xeito gramaticalmente válido, de xeito que o sentido da oración composta producida depende só das sentenzas orixinais.

Os conectivos lóxicos máis comúns son os conectivos binarios (tamén chamados conectivos diádicos), que unen dúas oracións, que poden considerarse os operandos da función. Tamén é común considerar a negación como un conectivo unario.

As conectivas lóxicas e os cuantificadores son os dous tipos principais de constantes lóxicas utilizadas en sistemas formais como a lóxica proposicional e a lóxica de predicados. A semántica dun conectivo lóxico preséntase a miúdo, pero non sempre, como unha función de verdade.^[1]

Linguaxes

Linguaxe natural

Na gramática das linguxes naturais, dúas sentenzas poden unirse mediante unha conxunción gramatical para formar unha oración gramaticalmente composta. Algunhas, mais non todas, destas conxuncións gramaticais son funcións de verdade. Por exemplo, considere as seguintes frases:

R: Xoán subiu á montaña.

B: Pedro subiu á montaña.

C: Xoán subiu á montaña e Pedro subiu á montaña.

D: Xoán subiu á montaña, entón Pedro subiu á montaña.

As palabras "e" e "entón" son conxuncións gramaticais que unen sentenzas (A) e (B) para formar sentenzas compostas (C) e (D). A e en (C) é un conectivo lóxico, xa que o valor de verdade de (C) está completamente determinado por (A) e (B): non tería sentido afirmar (A) e (B) e negar (C). Porén, "entón" en (D) non é un conectivo lóxico, xa que sería bastante razoábel afirmar (A) e (B) e negar (D): quizais Pedro subiu á montaña a buscar un balde de auga, e non porque Xoán subiu á montaña.

Varias palabras e pares de palabras expresan conectivos lóxicos, e algúns deles son sinónimos. Exemplos (co nome da relación entre parénteses):

"e" (conxunción)
"ou" (disxunción)
"ou... ou" (disxunción exclusiva)
"implica" (condicional)
"se... entón" (condicional) (se... logo, se... daquela)
" se e só se " (bicondicional)
"soamente se" (condicional)
"só no caso" (bicondicional)
"mais" (conxunción)
"con todo" (conxunción)
"non ambos" (NAND)
"nin... nin" (NOR)

A palabra "non" (negación) e as frases "é falso que" (negación) e "non é o caso que" (negación) tamén expresan un conectivo lóxico, aínda que se apliquen a unha única oración, e non a conectar dúas frases.

Linguaxes formais

Nas linguaxes formais, as funcións de verdade represéntanse mediante símbolos inequívocos. Estes símbolos chámanse "conectivos lóxicos", "operadores lóxicos", "operadores proposicionais" ou, en lóxica clásica, "conectivos de funcións de verdade". Vexa fórmulas ben formadas para as regras que permiten construír novas fórmulas ben formadas unindo outras fórmulas ben formadas usando conectivos de función de verdade.

Os conectivos lóxicos pódense usar para enlazar máis de dous enunciados, polo que é común falar de "conectivo lóxico n-ario".

Conectores lóxicos comúns

Nome / Símbolo		Valor de verdade					Venn diagrama
Nome / Símbolo		$P$ =	0		1		Venn diagrama
Verdade/Tautoloxía	⊤		1		1
Proposición $P$			0		1
Falso/Contradición	⊥		0		0
Negación	¬		1		0
Conectivos binarios		$Q$ =	0	1	0	1
Conxunción	∧		0	0	0	1
Non conxunción	↑		1	1	1	0
Disxunción	∨		0	1	1	1
Non disxunción	↓		1	0	0	0
Condicional material	→		1	1	0	1
Ou exclusivo	$\not \leftrightarrow$		0	1	1	0
Bicondicional	↔		1	0	0	1
Implicación inversa	←		1	0	1	1
Proposición $P$			0	0	1	1
Proposición $Q$			0	1	0	1

Lista de conectivos lóxicos comúns

Conectivos lóxicos de uso habitual:

Negación (non): ¬, ~

Conxunción (e): ∧, &, ∙

Disxunción (ou): ∨

Implicación material (se...entón): → ,⇒,⊃

Bicondicional (se e só se ): ↔,≡ ,=

Os nomes alternativos para o bicondicional son "sse", "xnor" e "biimplicación".

Por exemplo, o significado das afirmacións "está a chover " e "estou dentro da casa" transfórmase cando se combinan con conectivos lóxicos. Vexa os seguintes exemplos, onde as afirmacións son equivalentes a P = Esta a chover e Q = Estou no interior da casa:

Está a chover e estou dentro da casa (P ∧ Q)
Se está a chover, entón estou dentro da casa. (P → Q)
Se estou dentro da casa, entón está a chover. (Q → P)
Estou no interior da casa se e só se está a chover (Q ↔ P)
Non está a chover (¬P)

Tamén é común considerar a fórmula sempre verdadeira e a fórmula sempre falsa como conectiva: Verdadeiro (V, 1 ou T) Falso (⊥, 0 ou F)

Redundancia

O conectivo lóxico da implicación recíproca ← é, de feito, o mesmo que o condicional material coas premisas trocadas. Polo tanto, o símbolo da implicación recíproca é redundante. Nalgúns cálculos lóxicos, especialmente na lóxica clásica, certos enunciados compostos esencialmente diferentes son loxicamente equivalentes. Un exemplo menos trivial de redundancia é a equivalencia clásica entre ¬P ∨ Q e P → Q. Polo tanto, un sistema lóxico de base clásica non precisa do operador condicional "→" se xa se usan "¬" (non) e "∨" (ou). Pódese usar "→" só como un aditivo sintáctico para unha composición que teña unha negación e unha disxunción.

Hai 16 funcións booleanas que asocian os valores de verdade de entrada P e Q con saídas binarias de 4 díxitos. Estes corresponden ás posíbeis opcións de conectivos lóxicos binarios para a lóxica clásica. Unha implementación diferente da lóxica clásica pode escoller diferentes subconxuntos funcionalmente completos de conectivos.

Unha abordaxe é escoller un conxunto mínimo e definir outras conectivas dalgún xeito lóxico, como no exemplo condicional material anterior. Os seguintes son os conxuntos mínimos funcionalmente completos de operadores en lóxica clásica, cuxas aridades non superan 2:

Un elemento: {↑}, {↓}.
Dous elementos: { $\vee$ , ¬}, { $\wedge$ , ¬}, {→, ¬}, {←, ¬}, {→, $\bot$ }, {←, $\bot$ }, {→, $\not \leftrightarrow$ }, {←, $\not \leftrightarrow$ }, {→, $\not \to$ }, {→, $\not \leftarrow$ }, {←, $\not \to$ }, {←, $\not \leftarrow$ }, { $\not \to$ , ¬}, { $\not \leftarrow$ , ¬}, { $\not \to$ , $\top$ }, { $\not \leftarrow$ , $\top$ }, { $\not \to$ , $\leftrightarrow$ }, { $\not \leftarrow$ , $\leftrightarrow$ }.
Tres elementos: { $\lor$ , $\leftrightarrow$ , $\bot$ }, { $\lor$ , $\leftrightarrow$ , $\not \leftrightarrow$ }, { $\lor$ , $\not \leftrightarrow$ , $\top$ }, { $\land$ , $\leftrightarrow$ , $\bot$ }, { $\land$ , $\leftrightarrow$ , $\not \leftrightarrow$ }, { $\land$ , $\not \leftrightarrow$ , $\top$ }.

Vexa máis detalles sobre completude funcional.

Pero a lóxica intuicionista ten a situación máis complicada. Dos seus cinco conectivos {∧, ∨, →, ¬, ⊥} só a negación ¬ se pode reducir a outros conectivos (¬p ≡ (p → ⊥)). Nin a conxunción, nin a disxunción nin o condicional material teñen unha forma equivalente construída a partir dos outros catro conectivos lóxicos.

Propiedades

Algunhas conectivas lóxicas teñen propiedades que se poden expresar en teoremas que conteñen a conectiva. Algunhas destas propiedades que pode ter unha conectiva lóxica son:

Asociatividade: Nunha expresión que contén dous ou máis do mesmo conectivo asociativo nunha liña, a orde das operacións non importa mentres a secuencia de operandos non mude.
Comutatividade: Os operandos do conectivo poden ser trocados (un polo outro) preservando a equivalencia lóxica da expresión orixinal.
Distributividade: Un conectivo denotado por • distribue sobre outro conectivo denotado por +, se $a • (b + c) = (a • b) + (a • c)$ para todos os operandos $a$ , $b$ , $c$ .
Idenpotencia: Sempre que os operandos dunha operación son iguais, o composto é logicamente equivalente ao operando.
Absorción: Un par de conectivos $\land$ , $\lor$ satisfai a lei da absorçión se $a\land (a\lor b)=a$ para todos os operandos $a$ , $b$ .
Monotonicidade: Se f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n) para todo a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n ∈ {0,1} tal que a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n. Ex., $\vee$ , $\wedge$ , $\top$ , $\bot$ .
Afinidade: Cada variábel sempre fai unha diferenza no valor verdade da operación ou logo nunca fai unha diferenza. Ex., $\neg$ , $\leftrightarrow$ , $\not \leftrightarrow$ , $\top$ , $\bot$ .

Notas

↑ Cogwheel. "What is the difference between logical and conditional /operator/". Stack Overflow.

Véxase tamén

Bibliografía

Bocheński, Józef Maria (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
Chao, C. (2023). 数理逻辑：形式化方法的应用 [Mathematical Logic: Applications of the Formalization Method]. Beijing: Preprint. pp. 15–28.
Enderton, Herbert (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2nd ed.). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3.
Gamut, L.T.F (1991). "Chapter 2". Logic, Language and Meaning 1. University of Chicago Press. pp. 54–64. OCLC 21372380.
Humberstone, Lloyd (2011). The Connectives. MIT Press. ISBN 978-0-262-01654-4.
Rautenberg, W. (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.). New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4419-1220-6. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. .

Outros artigos

Ligazóns externas

"Propositional connective". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Lloyd Humberstone (2010), "Sentence Connectives in Formal Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy (An abstract algebraic logic approach to connectives.)
John MacFarlane (2005), "Logical constants", Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[1] Cogwheel. "What is the difference between logical and conditional /operator/". Stack Overflow.

[1]