Disxunción lóxica

Conxunción lóxica
OR

Diagrama de Venn da disxunción
Outros nomes	OR, OU
linguaxe natural	A ou B
linguaxe formal	$A\lor B$
Porta lóxica
táboa de verdade	${\begin{array}{c|c||c}A&B&A\lor B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\end{array}}$

Conectivas lóxicas
NOT (NON) $\neg A$, $-A$, ${\overline {A}}$, $\sim A$ AND (E) $A\land B$, $A\cdot B$, $AB$, $A\&B$, $A\&\&B$ NAND (NON E) $A{\overline {\land }}B$, $A\uparrow B$, $A\mid B$, ${\overline {A\cdot B}}$ OR (OU) $A\lor B$, $A+B$, $A\mid B$, $A\parallel B$ NOR (NON OU) $A{\overline {\lor }}B$, $A\downarrow B$, ${\overline {A+B}}$ XNOR (NON OU exclusivo) $A\ {\text{XNOR}}\ B$ └ equivalencia $A\equiv B$, $A\Leftrightarrow B$, $A\leftrightharpoons B$ XOR (OU exclusivo) $A{\underline {\lor }}B$, $A\oplus B$ └ non equivalencia $A\not \equiv B$, $A\not \Leftrightarrow B$, $A\nleftrightarrow B$ Implicación $A\Rightarrow B$, $A\supset B$, $A\rightarrow B$ Implicación recíproca $A\Leftarrow B$, $A\subset B$, $A\leftarrow B$

Diagrama de Venn $\scriptstyle A\lor B\lor C$

En lóxica, a disxunción, tamén coñecida como disxunción lóxica, é unha conectiva lóxica que normalmente denótase como $\lor$ e lese como "ou". Por exemplo, a frase en galego "fai sol ou está quente" pódese representar na lóxica usando a fórmula disxuntiva $S\lor Q$, supoñendo que $S$ abrevia "fai sol" e $Q$ abrevia "está quente". (Comúnmete enténdese máis por unha cousa ou outra, máis en lóxica tamén é válido cando acontecen as dúas xuntas).

Notación

Na lóxica e outros campos relacionados, a disxunción adoita anotarse cun operador infixo $\lor$. As notacións alternativas inclúen +

, usado principalmente en electrónica, así como | e || en moitas linguaxes de programación.

Disxunción clásica

Semántica

A disxunción clásica é unha operación funcional de verdade que devolve o valor de verdade verdadeiro a menos que ambos os seus argumentos sexan falsos. A súa entrada semántica dáse normalmente do seguinte xeito:

$\models \phi \lor \psi$  se  $\models \phi$  ou  $\models \psi$  ou  ambos os dous

Esta semántica correspóndese coa seguinte táboa de verdade:

$A$	$B$	$A\lor B$
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Definida por outros operadores

Nos sistemas lóxicos clásicos onde a disxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir en termos das primitivas AND ($\land$) e NOT ( $\lnot$ ) como:

$A\lor B=\neg ((\neg A)\land (\neg B))$.

Alternativamente, pódese definir en termos da implicación ( $\to$ ) e da negación (lóxica) como:

$A\lor B=(\lnot A)\to B$.

Esta última pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade:

$A$	$B$	$\neg A$	$\neg A\rightarrow B$	$A\lor B$
F	F	V	F	F
F	V	V	V	V
V	F	F	V	V
V	V	F	V	V

Tamén se pode definir unicamente en termos de $\to$:

$A\lor B=(A\to B)\to B$ .

Pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade:

$A$	$B$	$A\rightarrow B$	$(A\rightarrow B)\rightarrow B$	$A\lor B$
F	F	V	F	F
F	V	V	V	V
V	F	F	V	V
V	V	V	V	V

Propiedades

As seguintes propiedades aplícanse á disxunción:

• Asociatividade : $a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c$
• Conmutatividade : $a\lor b\equiv b\lor a$
• Distributividade : $(a\land (b\lor c))\equiv ((a\land b)\lor (a\land c))$

$(a\lor (b\land c))\equiv ((a\lor b)\land (a\lor c))$

$(a\lor (b\lor c))\equiv ((a\lor b)\lor (a\lor c))$

$(a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))$

• Idempotencia : $a\lor a\equiv a$
• Monotonía : $(a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))$

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))$

Aplicacións en informática

porta lóxica OR

Os operadores correspondentes á disxunción lóxica existen na maioría das linguaxes de programación.

Operación bit a bit

A disxunción úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos:

• 0 ou 0 = 0
• 0 ou 1 = 1
• 1 ou 0 = 1
• 1 ou 1 = 1
• 1010 ou 1100 = 1110

Operación lóxica

Moitas linguaxes de programación distinguen entre a disxunción bit a bit e a disxunción lóxica proporcionando dous operadores distintos; nas linguaxes que seguen a C, a disxunción bit a bit realízase co operador de barra única (|) e a disxunción lóxica co operador de barra dupla (||).

Teoría de conxuntos

A pertenza dun elemento dun conxunto unión na teoría de conxuntos defínese en termos dunha disxunción lóxica: $x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A)\vee (x\in B)$. Por iso, a disxunción lóxica satisfai moitas das mesmas identidades que a unión na teoría de conxuntos, como a asociatividade, a conmutividade, a distributividade e as leis de Morgan, identificando a conxunción lóxica coa intersección de conxuntos, e a negación lóxica co complemento de conxuntos.

Linguaxe natural

A disxunción nas linguas naturais non coincide normalmente coa interpretación de $\lor$ na lóxica clásica. Como se comentou na introdución na fala común a disxunción non inclúe a condición de certa para ambas as condicións. Por exemplo é habitual facer perguntas con "ou" con intención de escoller entre as dúas: queres carne ou peixe?.

Esta interpretación correspóndese coa conectiva XOR (ou exclusivo).

Véxase tamén

Outros artigos

• Álxebra de Boole
• Dominio booleano
• Función booleana

Ligazóns externas

• "Disjunction". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Eric W. Weisstein. "Disjunction." From MathWorld—A Wolfram Web Resource