Relación inversa

En matemáticas, a inversa dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo de' é a relación 'pai de'. En termos formais, se $X$ e $Y$ son conxuntos e $L\subseteq X\times Y$ é unha relación de $X$ a $Y,$ entón $L^{\operatorname {T} }$ é a relación definida detal forma que $yL^{\operatorname {T} }x$ se e só se $xLy.$

L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.

Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, daí a nomenclatura co superíndice "T": $L^{\operatorname {T} }$ .

Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": $L^{-1}$ . Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.

Outras formas usadas menos frecuentes son: $L^{\operatorname {C} },L^{V},{\breve {L}},L^{\circ }.$

Exemplo

Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$

Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta: ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.$

Inversas

No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se $L$ é unha relación arbitraria sobre $X,$ entón $L\circ L^{\operatorname {T} }$ non é igual, en xeral, á relación de identidade en $X$ . A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución: $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ e $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.$ ^[1]

Se $I$ representa a relación de identidade, daquela unha relación $R$ pode ter unha inversa do seguinte xeito: $R$ chámase

Invertíbel pola dereita: se existe unha relación $X,$ chamada inversa pola dereita de $R,$ que satisfai $R\circ X=I.$
Invertíbel pola esquerda: se existe unha relación $Y,$ chamada inversa pola esquerda of $R,$ que satisfai $Y\circ R=I.$
invertíbel: no caso de ser invertíbel bilateral.

Para unha relación homoxénea invertíbel $R,$ todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa Inverse relation e denotase por $R^{-1}.$ Neste caso si que se cumpre que $R^{-1}=R^{\operatorname {T} }$ .^[2]

Relación inversa dunha función

Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.

A relación inversa dunha función $f:X\to Y$ é a relación $f^{-1}\subseteq Y\times X$ definida por $\operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$

Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que $f$ sexa inxectiva, xa que senón $f^{-1}$ é multivaluada. Entón $f^{-1}$ é unha función (total) se e só se $f$ é sobrexectiva. No caso de que $f$ é bixectiva, $f^{-1}$ pódese chamar función inversa de $f.$

Por exemplo, a función $f(x)=2x+2$ ten a función inversa $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$

Porén, a función $g(x)=x^{2}$ ten a relación inversa $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ que non é unha función, por ser multivaluada.

Composición con relación

Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal:

∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Do mesmo xeito,

Para U = universo, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa.

A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .

Así $A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$ A composición contraria $\in \ni$ é a relación universal.

As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación Q, cando a relación de identidade no rango de Q contén Q^TQ, entón Q denomínase univalente . Cando a relación de identidade no dominio de Q está contida en QQ ^T, entón Q chámase total . Cando Q é univalente e total, entón é unha función. Cando Q ^T é univalente, entón Q denomínase inxectiva . Cando Q^T é total, Q denomínase sobrexectiva .

Se Q é univalente, entón QQ^T é unha relación de equivalencia no dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.

Notas

↑ Joachim Lambek (2001). "Relations Old and New". En Ewa Orłowska; Andrzej Szalas. Relational Methods for Computer Science Applications. Springer Science & Business Media. pp. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.
↑ Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Berlin Heidelberg. pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

Véxase tamén

Bibliografía

Halmos, Paul R. (1974). Naive Set Theory. Springer. p. 40. ISBN 978-0-387-90092-6.

Outros artigos

Grafo transposto.

[Lambek2001-1] Joachim Lambek (2001). "Relations Old and New". En Ewa Orłowska; Andrzej Szalas. Relational Methods for Computer Science Applications. Springer Science & Business Media. pp. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.

[R&G-2] Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Berlin Heidelberg. pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

[1]

[2]