Serie diverxente

En matemáticas, unha serie diverxente é unha serie infinita que non é converxente, o que significa que a secuencia infinita das sumas parciais da serie non ten un límite finito.

Se unha serie converxe, os termos individuais da serie normalmente deben achegarse a cero. Así, calquera serie na que os termos individuais non se acheguen a cero normalmente diverxe. No entanto, a converxencia é unha condición máis forte: non todas as series cuxos termos se aproximan a cero converxen. Un contraexemplo é a serie harmónica

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.

A diverxencia das series harmónicas foi probada polo matemático medieval Nicole Oresme.

En contextos matemáticos especializados, pódense asignar valores obxectivamente a determinadas series cuxas secuencias de sumas parciais diverxen, co fin de dar sentido á diverxencia da serie.

Un método de sumabilidade ou método de suma é unha función parcial do conxunto de series a valores. Por exemplo, a suma de Cesàro asigna as series diverxentes de Grandi

1-1+1-1+\cdots

o valor1/2. A suma de Cesàro é un método de media, xa que se basea na media aritmética da secuencia de sumas parciais que van sendo 0 e 1 alternativamente. Outros métodos implican un prolongamento analítico das series relacionadas. En física, hai unha gran variedade de métodos de sumabilidade; estes son tratados con maior detalle no artigo sobre regularización.

Hai que ter en conta que as series diverxentes son, evidentemente, moi diferentes, por tanto asignarlles un valor, áparte de ser útil nalgúns casos, dá información sobre esta diferenza, no caso contrario simplemente dicir que o seu valor é infinito non aporta información diferenciadora.

Exemplos

En series alternadas o valor asignado mostra certa relación entre os valores positivos e os negativos

1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}$
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}$
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots$
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}$

En series con todos os termos positivos o valor asignado é menos intuitivo e moitas veces ten relación co prolongamento analítico

1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-1$
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}$
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}$

Propiedades dos métodos de suma

Un método de suma é unha función que parte dun determinado subconxunto do conxunto de secuencias de sumas parciais de series con termos reais ou complexos (que se identifica naturalmente co conxunto de secuencias con termos reais ou complexos, pero é habitual e polo tanto máis práctico non facer esta identificación cando falamos de series), e con valores no conxunto de números reais ou complexos. Fixemos as seguintes notacións: (a_n) é unha secuencia de números reais ou complexos, s é a serie do termo xeral a_n, e as súas sumas parciais denomínanse $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ . As primeiras propiedades a discutir sobre un método M de suma son:

regularidade. Un método M de suma dise que é regular se, dado que a secuencia de sumas parciais (s_n) converxe cara un límite S, a identidade M(s)=S verifícase.
linearidade. O método M dise que é linear se o seu conxunto inicial admite unha estrutura de espazo vectorial (real ou complexo), e define unha aplicación linear deste espazo no conxunto de chegada.
estabilidade. Definimos unha segunda serie s' a partir da serie s por quendas, asumindo que o seu termo xeral é a'_n=a_n+1 (ou que a súa suma parcial é s'_n=s_n+1-s₀). O método M dise que é estábel se a pertenza de s' no conxunto inicial de M é equivalente á de s, e se, neste caso, teñen a identidade: M(s' )=M(s)-a₀.

Algúns métodos importantes, como o sumatorio de Borel non son estábeis. Desde o punto de vista numérico, abandonar as propiedades de regularidade e linearidade tamén permite chegar a métodos potentes, como o dos Aproximantes de Padé.

A comparación de dous métodos de suma distintos pódese facer a través das seguintes nocións: dous métodos A e B dise que son compatíbeis (ou consistentes) se lle asignan o mesmo valor a cada serie que suman ambos os dous. Entre dous métodos compatíbeis, se un consegue sumar todas as series que o outro consegue sumar, dise que é máis forte.

Teoremas abelianos e tauberianos

Artigo principal: Teoremas abelianos e tauberianos.

Un método de suma M chámase regular se os resultados que proporciona son, para series converxentes, os mesmos que as sumas destas series no sentido clásico. Tal resultado leva o nome xeral de Teorema de Abel.

Os teoremas tauberianos son resultados recíprocos, que aseguran que un método de suma M sendo fixo, calquera serie sumada por este método que satisfaga unha determinada condición adicional (dependendo do método) é de feito unha serie converxente. Requirir unha condición adicional é importante, xa que un método que verifique un teorema tauberiano sen tal condición, de feito, non sería capaz de sumar series distintas ás converxentes e, polo tanto, carecería de interese para o estudo de series diverxentes.

O operador que asigna a súa suma a unha serie converxente é linear; a maiores, segundo o teorema de Hahn-Banach, pódese estender a un operador linear no espazo de series cuxa secuencia de sumas parciais está limitada. Porén, esta forma de atacar o problema resulta pouco fértil: por unha banda, a demostración así obtida baséase no lema de Zorn, polo que non é construtiva; por outra banda, non hai un resultado de unicidade, e os diferentes métodos de suma obtidos son dificilmente compatíbeis.

O problema da suma de series diverxentes céntrase así na procura de métodos explícitos, como o Sumatorio de Abel, o lema de Cesàro ou o sumatorio de Borel, e as súas relacións. Os teoremas tauberianos tamén forman un tema importante; notabelmente a través do teorema tauberiano de Wiener que dá luz sobre vínculos inesperados entre a análise de Fourier e os métodos resultantes do estudo da álxebra de Banach.

A suma de series diverxentes tamén está ligada aos métodos de extrapolación e aos métodos de transformación de secuencias, como os aproximantes de Padé.

Media de Nørlund

Artigo principal: Media de Nørlund.

Supoña que p_n é unha secuencia de termos positivos, a partir de p₀. Supoñamos tamén que

{\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.

Se agora transformamos unha secuencia s usando p para dar medias ponderadas, estabelecendo

t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}

entón o límite de t_n cando n vai ao infinito é unha media chamada media de Nørlund N_p(s).

A media de Nørlund é regular, linear e estábel. Alén diso, calquera das medias de Nørlund son consistentes.

Sumatorio de Cesàro

Artigo principal: Sumatorio de Cesàro.

A máis significativa das medias de Nørlund son as sumas de Cesàro. Aquí, se definimos a secuencia p^k por

p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}

entón a suma de Cesàro C_k defínese por C_k(s) = N_(p^k)(s). As sumas de Cesàro son as medias de Nørlund se k ≥ 0 e, polo tanto, son regulares, lineares, estábeis e consistentes. C₀ é a suma ordinaria e C₁ é a suma ordinaria de Cesàro. As sumas de Cesàro teñen a propiedade de que se h > k, entón C_h é máis forte que C_k.

Medias de Abel

Supoñamos que λ = {λ₀, λ₁, λ₂,... } é unha secuencia estritamente crecente que tende cara ao infinito, e que λ₀ ≥ 0. Supoñamos que

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}

converxe para todos os números reais x > 0. Entón a media abeliana A_λ defínese como

A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).

Unha serie deste tipo coñécese como unha serie de Dirichlet xeneralizada.

As medias abelianas son regulares e lineares, mais non son estábeis e non sempre son consistentes entre as diferentes opcións de λ. No entanto, algúns casos especiais son métodos de suma moi importantes.

Sumatorio de Abel

Artigo principal: Teorema de Abel.

Se λ_n = n, obtemos o método do sumatorio de Abel. Aquí

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},

onde z = exp(−x). Entón, o límite de f(x) cando x se achega a 0 a través dos reais positivos é o límite da serie de potencias para f(z) cando z se achega a 1 por abaixo a través dos reais positivos, e a suma de Abel A(s) defínese como

A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

O sumatorio de Abel é interesante en parte porque é consistente co sumatorio de Cesàro, aínda que máis poderosa: A(s) = C_k(s) sempre que estea definida esta última. O sumatorio de Abel é, polo tanto, regular, linear, estábel e coherente co sumatorio de Cesàro.

Sumatorio de Lindelöf

Se λ_n = n log(n), entón (indexando a partir de 1) temos

f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .

Entón L(s), a suma de Lindelöf,^[1] é o límite de f(x) cando x vai ata cero positivo.

Prolongamento analítico

Varios métodos de suma implican tomar o valor dun prolongamento analítico dunha función.

Prolongamento analítico da serie de potencias

Se Σa_nxⁿ converxe para un complexo pequeno x e pódese estender analiticamente por algún camiño dende x = 0 ata o punto x = 1, entón a suma da serie pódese definir como o valor en x = 1. Este valor pode depender da escolla do camiño. Un dos primeiros exemplos de sumas potencialmente diferentes para unha serie diverxente, usando o prolongamento analítico, foi dado por Callet,^[2] quen observou que se $1\leq m<n$ entón

${\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots$

Avaliando en $x=1$ , obtemos

$1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.$

No entanto, os ocos na serie son fundamentais. Para $m=1,n=3$ por exemplo, en realidade conseguiriamos

$1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}$ , polo que diferentes sumas corresponden a diferentes colocacións dos $0$ 's.

Outro exemplo de prolongamento analítico é a serie alternada diverxente $\sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots$ que é unha suma sobre produtos de funcións gamma e símbolos de Pochhammer. Usando a fórmula de duplicación da función $\Gamma$ , redúcese a unha serie hiperxeométrica xeneralizada $\ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.$

Sumatorio de Euler

Artigo principal: Sumatorio de Euler.

O sumatorio de Euler é esencialmente unha forma explícita de prolongamento analítico. Se unha serie de potencias converxe para un complexo pequeno z e pódese prolongar analiticamente ata o disco aberto cun diámetro de −1/q + 1 a 1 e é continuo en 1, entón o seu valor en q chámase a suma de Euler ou suma (E, q) da serie Σa_n. Euler utilizouno antes de que se definise o prolongamento analítico en xeral, e deu fórmulas explícitas para a serie de potencias do prolongamento analítico.

A operación do sumatorio de Euler pode repetirse varias veces, e isto é esencialmente equivalente a levar un prolongamento analítico dunha serie de potencias ata o punto z =1.

Prolongamento analítico da serie de Dirichlet

Este método define a suma dunha serie como o valor do prolongamento analítico da serie de Dirichlet

f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots

en s = 0, se existe e é único. Este método ás veces confúndese coa regularización da función zeta.

Se s = 0 é unha singularidade illada, a suma defínese polo termo constante da expansión da serie de Laurent.

Regularización da función zeta

Artigo principal: Regularización da función zeta.

Se a serie

f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots

(para valores positivos da a_n) converxe para valores de s reais grandes e pódese prolongar analiticamente pola liña real ata s = −1, entón o seu valor en s = −1 chámase suma da función zeta regularizada da serie a₁ + a ₂ + ... A regularización da función zeta é non linear. Nalgunhas aplicacións, os números a_i son ás veces os valores propios dun operador autoadxunto A con resolutivo compacto, e f (s) é daquela a traza de A^-s. Por exemplo, se A ten valores propios 1, 2, 3,... entón f(s) é a función zeta de Riemann, ζ(s), cuxo valor en s = −1 é −1/12, asignando un valor á serie diverxente 1 + 2 + 3 + 4 + ... . Tamén se poden usar outros valores de s para asignar valores ás sumas diverxentes ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2 ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2

\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,

onde B_k é un número de Bernoulli.^[3]

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Jean-Pierre Ramis, « Les séries divergentes », Pour la science, 350, decembro 2006, 132-139.
Leonhard Euler, « Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques », Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin, 17, 1768, p. 83-106 ; Opera Omnia : Series 1, vol. 15, p. 70-90 ; Euler Archive : E352 ([1]); este texto, escrito en 1749, constitúe un dos primeiros usos de series claramente diverxentes e, respecto destas fórmulas, el mesmo escribiu (p.2): cela doit paraître bien paradoxe (isto debe parecer bastante paradóxico).
artigo de Ed Sandifer (nunha serie chamada How Euler did it).
Émile Borel, Leçons sur les séries divergentes, Gauthier-Villars, Paris, 1928
Godfrey Harold Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, 1949 ; rééd. AMS, 1992 ISBN 0-8218-2649-2 ; DivergentSeries
Jean-Pierre Ramis, Séries divergentes et théories asymptotiques, Panoramas et Synthèses, 0, 1994 ISBN 2-85629-024-8

Outros artigos

Ligazóns externas

« Du vieux et du neuf sur les séries divergentes », conferencia de Frédéric Pham, principalmente relacionados co sumatorio de Borel.
Jean-Pierre Ramis (2012). "Poincaré et les développements asymptotiques (Première partie)" (pdf) 133. SMF, Gazette.
Jean-Pierre Ramis (2012). "Les développements asymptotiques après Poincaré : continuité et… divergences (Deuxième partie)" (pdf) 134. SMF, Gazette.

[FOOTNOTEVolkov2001-1] Volkov 2001.

[FOOTNOTEHardy194914-2] Hardy 1949, p. 14.

[3] "the euler-maclaurin formula bernoulli numbers the zeta function and real variable analytic continuation".

[1]

[2]

[3]