Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan

V

e

W

espazos vectoriais sobre o mesmo corpo

K

. Unha aplicación

T

de

V

en

W

é unha transformación linear se para todo par de vectores

u,v\in V

e para todo escalar

k\in K

, se satisfai que:

$T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
$T(ku)=kT(u)\,$ .

Exemplos

A aplicación $B:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ que envía $\alpha$ en ${\bar {\alpha }}$ (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera $\mathbb {C}$ como un $\mathbb {R}$ -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como $\mathbb {C}$ -espazo vectorial, xa que $B(i)=-i\neq iB(1)=i$ .
Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade $T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,$ $\forall x\in V$ , que resulta unha transformación linear.
As homotecias: $T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx$ con $k\in \mathbb {K}$ . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
Dada unha matriz $A\in M_{n\times m}(K)$ , a función $L_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}$ definida como $L_{A}(x)=Ax$ é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
Sexa $V$ o conxunto de funcións continuas en $\mathbb {R}$ e defínase $\phi :V\rightarrow V$ mediante $\phi (f)(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx$ , ocorre que:

\int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{0}^{t}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}g(x)\,dx

e

\int _{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int _{0}^{t}f(x)\,dx

para

c\in \mathbb {R}

Polo tanto, cúmprese que

\phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)

e

\phi (cf)=c\,\phi (f)

para todo

f

e

g

en

V

e todo

c\in \mathbb {R}

, así que

\phi

é unha aplicación linear de

V

en

V

.^[1]

Propiedades das transformacións lineares

Sexan $V_{}^{}$ e $W_{}^{}$ espazos vectoriais sobre $K_{}^{}$ (onde $K_{}^{}$ representa o corpo), satisfaise que: Se $T:V\rightarrow W$ é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de $T_{}^{}$ como:

$\operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}$

$\operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}$

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

$0_{V}\in \operatorname {ker} (T)$ dado que $T(0_{V})=0_{W}$ (para probar isto, obsérvese que $T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})$ ).
Dados $u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)$
Dados $u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)$

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. $\operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))$

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

\operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas

Se f₁: $V$ → $W$ e f₂: $V$ → $W$ son lineares, entón tamén o é a súa suma f₁+f₂ (definida como (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x)).

Se f : $V$ → $W$ é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f: $V$ → $W$ forma un subespazo das funcións de $V$ en W. A este subespazo denótase L( $W$ , $W$ ) ou Hom( $W$ , $W$ ). A dimensión de L( $V$ , $W$ ) é igual ao produto das dimensións de $V$ e $W$ .

Se f: $V$ → $W$ e g: $W$ → $Z$ son lineares entón a súa composición g∘f: $V$ → $Z$ tamén o é.

Dado un espazo vectorial $V$ , o espazo vectorial L( $V$ , $V$ ), que adoita denotarse End( $V$ ), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f: $V$ → $W$ é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións

Sexa B = {v_i: i ∈ J} base de $V$ e C = {w_i: i ∈ J} unha colección de vectores de $W$ non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:

T(v_{i})=w_{i},\ \forall i\in J

Sexa $T:V\rightarrow W$ unha transformación linear.

entón

\dim(V)=\dim(N(T))+\dim(\operatorname {Im} (T))

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares

Funcional linear: So as transformación lineares $T:V\rightarrow \mathbb {K}$ (onde $\mathbb {K}$ é o corpo base de V).
Monomorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. $\operatorname {ker} (T)={0_{V}}$
Epimorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é sobrexectiva.
Isomorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear

Se $V$ e $W$ teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de $V$ en $W$ pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan $T$ : $V$ → $W$ unha transformación linear, B={v₁, ..., v_n} unha base de $V$ , C={w₁, ..., w_m} base de $W$ . Para calcular a matriz asociada a $T$ bas bases B e C cómpre calcular $T$ (v_i) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: $T$ (v₁)=a₁₁w₁+ ...+a_m1 w_m, ..., $T$ (v_n)=a_1nw₁+ ...+a_mn w_m.

A matriz asociada denótase _C[T]_B e é:

_{C}[T]_{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\...&...&...\\a_{m1}&...&a_{mn}\end{pmatrix}}

.

Como un vector de $W$ se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u₁, ..., u_n existe e é única a transformación linear que envía v_i en u_i, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear $T$ : $V$ → $W$ tal que _C [T] _B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que _C [aT+bS] _B = a _C [T] _B + b _C [S] _B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L( $V$ , $W$ ) e M_n×mC (K).

De restrinxirse ao caso $V$ = $W$ , C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Notas

↑ "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase tamén

Bibliografía

Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
Lang, Serge (1987). Linear Algebra (Third ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96412-6.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (Second ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8.

Outros artigos

Ligazóns externas

[1] "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

[1]