Implicación recíproca

Implicación recíproca

Diagrama de Venn da implicación recíproca
Outros nomes	Implicación inversa
linguaxe natural	B implica A
linguaxe formal	$A\leftarrow B$
táboa de verdade	${\begin{array}{c|c||c}A&B&A\leftarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}$

Conectivas lóxicas
NOT (NON) $\neg A$, $-A$, ${\overline {A}}$, $\sim A$ AND (E) $A\land B$, $A\cdot B$, $AB$, $A\&B$, $A\&\&B$ NAND (NON E) $A{\overline {\land }}B$, $A\uparrow B$, $A\mid B$, ${\overline {A\cdot B}}$ OR (OU) $A\lor B$, $A+B$, $A\mid B$, $A\parallel B$ NOR (NON OU) $A{\overline {\lor }}B$, $A\downarrow B$, ${\overline {A+B}}$ XNOR (NON OU exclusivo) $A\ {\text{XNOR}}\ B$ └ equivalencia $A\equiv B$, $A\Leftrightarrow B$, $A\leftrightharpoons B$ XOR (OU exclusivo) $A{\underline {\lor }}B$, $A\oplus B$ └ non equivalencia $A\not \equiv B$, $A\not \Leftrightarrow B$, $A\nleftrightarrow B$ Implicación $A\Rightarrow B$, $A\supset B$, $A\rightarrow B$ Implicación recíproca $A\Leftarrow B$, $A\subset B$, $A\leftarrow B$

En lóxica e matemáticas, a implicación recíproca ou inversa dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación P → Q, a recíproca é Q → P. Para a proposición categórica Todos os S son P, a recíproca é Todos os P son S. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal.

Implicación recíproca

Sexa S un enunciado da forma P implica Q (P → Q). Entón a recíproca de S é a afirmación Q implica P (Q → P). En xeral, a verdade de S non di nada sobre a verdade da súa recíproca, a non ser que o antecedente P e o consecuente Q sexan loxicamente equivalentes.

Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).

No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".

Unha táboa de verdade deixa claro que S e a recíproca de S non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si:

$A$	$B$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$ (recíproca)
F	F	V	V
F	V	V	F
V	F	F	V
V	V	V	V

Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado S e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, P é verdadeiro se e só se Q tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).

A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de $P$ e $\neg Q$

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

Recíproca dun teorema

A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997.

A inversa de "Dado P, se Q entón R " será "Dado P, se R entón Q" . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude $a$, $b$, e $c$, se o ángulo oposto ao lado da lonxitude $c$ é un ángulo recto, entón $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

A recíproca, que tamén aparece nos Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude $a$, $b$, e $c$, se $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, entón o ángulo oposto ao lado da lonxitude $c$ é un ángulo recto.

Recíproca dunha relación

Recíproca dunha relación matemática sinxela

Se $R$ é unha relación binaria con $R\subseteq A\times B,$ entón a relación inversa $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ tamén se chama transposta.

Notación

A recíproca da implicación P → Q pódese escribir Q → P, $P\leftarrow Q$, e tamén se pode denotar $P\subset Q$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Aristotle. Organon.
• Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
• Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.

Outros artigos

• Conectiva lóxica.
• Táboa de verdade.
• Teoría da orde.

Ligazóns externas

• forall x: Calgary An Introduction to Formal Logic.