Matriz de uns

En matemáticas, unha matriz de uns é unha matriz onde cada entrada é igual a un. ^[1] Por exemplo:

J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad

Un vector de uns é unha matriz de uns que teñen forma de fila ou columna; non se debe confundir cos vectores unitarios.

Propiedades

Para unha matriz $n \times n$ de uns J, temos as seguintes propiedades:

A trazo de J é igual a n, ^[2] e o determinante é igual a 0 para n ≥ 2, pero é igual a 1 se n = 1.
O polinomio característico de J é $(x-n)x^{n-1}$ .
O polinomio mínimo de J é $x^{2}-nx$ .
O rango de J é 1 e os valores propios son n con multiplicidade 1 e 0 con multiplicidade $n - 1$ .^[3]
$J^{k}=n^{k-1}J$ para $k=1,2,\ldots .$ ^[4]
J é o elemento neutro do produto de Hadamard. ^[5]

Cando J se considera unha matriz sobre os números reais, danse as seguintes propiedades adicionais:

J é unha matriz semidefinida positiva.
A matriz ${\tfrac {1}{n}}J$ é idempotente.^[4]
A matriz exponencial de J é $\exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J$

Aplicacións

A matriz de uns xorde no campo matemático da combinatoria, que inclúe particularmente a aplicación de métodos alxébricos á teoría de grafos. Por exemplo, se A é a matriz de adxacencia dun grafo non dirixido de n vértices G e J é a matriz de todos uns da mesma dimensión, entón G é un grafo regular se e só se AJ = JA.^[6] Como segundo exemplo, a matriz aparece nalgunhas demostracións alxébricas lineares da fórmula de Cayley, que dá o número de árbores de expansión dun grafo completo, utilizando o teorema da árbore matricial.

As raíces cadradas lóxicas dunha matriz de uns, matrices lóxicas cuxo cadrado é unha matriz de unidades, pódense usar para caracterizar os grupoides centrais. Os grupoides centrais son estruturas alxébricas que obedecen á identidade $(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b$ . Os grupoides centrais finitos teñen un número cadrado de elementos, e as matrices lóxicas correspondentes só existen para esas dimensións.^[7]

Notas

↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). "0.2.8 The all-ones matrix and vector". Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 8. ISBN 9780521839402. .
↑ Stanley, Richard P. (2013). Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More. Springer. ISBN 9781461469988. .
↑ Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65.
↑ ^4,0 ^4,1 Timm, Neil H. (2002). Applied Multivariate Analysis. Springer. p. 30. ISBN 9780387227719. .
↑ Smith, Jonathan D. H. (2011). Introduction to Abstract Algebra. CRC Press. p. 77. ISBN 9781420063721. .
↑ Godsil, Chris (1993). Algebraic Combinatorics. CRC Press. Lemma 4.1, p. 25. ISBN 9780412041310. .
↑ Knuth, Donald E. (1970). Notes on central groupoids.

Véxase tamén

Outros artigos

Matriz identidade.

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Unit Matrix". MathWorld.

[1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). "0.2.8 The all-ones matrix and vector". Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 8. ISBN 9780521839402. .

[2] Stanley, Richard P. (2013). Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More. Springer. ISBN 9781461469988. .

[3] Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65.

[timm-4] 4,0 ^4,1 Timm, Neil H. (2002). Applied Multivariate Analysis. Springer. p. 30. ISBN 9780387227719. .

[5] Smith, Jonathan D. H. (2011). Introduction to Abstract Algebra. CRC Press. p. 77. ISBN 9781420063721. .

[6] Godsil, Chris (1993). Algebraic Combinatorics. CRC Press. Lemma 4.1, p. 25. ISBN 9780412041310. .

[7] Knuth, Donald E. (1970). Notes on central groupoids.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]