Topoloxía relativa

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, un subespazo dun espazo topolóxico X é un subconxunto S de X que está equipado cunha topoloxía inducida a partir da de X chamada topoloxía relativa (ou topoloxía traza, topoloxía inducida, ^[1] topoloxía do subespazo).^[2]

Definición

Dado un espazo topolóxico $(X,\tau )$ e un subconxunto $S$ de $X$ , a topoloxía relativa en $S$ está definida por

\tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .

É dicir, un subconxunto de $S$ é aberto na topoloxía relativa se e só se é a intersección de $S$ cun conxunto aberto en $(X,\tau )$ . Se $S$ está equipado coa topoloxía relativa, entón é un espazo topolóxico por dereito propio e chámase subespazo de $(X,\tau )$ . Os subconxuntos de espazos topolóxicos suponse normalmente que están equipados coa topoloxía relativa a non ser que se indique o contrario.

Alternativamente, podemos definir a topoloxía relativa para un subconxunto $S$ de $X$ como a topoloxía máis fina para a cal o mapa de inclusión

\iota :S\hookrightarrow X

é continuo.

De xeito máis xeral, supoñamos que $\iota$ é unha inxección dun conxunto $S$ nun espazo topolóxico $X$ . Entón a topoloxía relativa en $S$ defínese como a topoloxía máis grosa para a cal $\iota$ é continua. Os conxuntos abertos nesta topoloxía son precisamente os da forma $\iota ^{-1}(U)$ para $U$ aberto en $X$ . Daquela $S$ é homeomórfico á súa imaxe en $X$ (tamén coa topoloxía relativa) e $\iota$ chámase mergullo topolóxico.

Un subespazo $S$ chámase subespazo aberto se a inxección $\iota$ é un mapa aberto, é dicir, se a imaxe cara adiante dun conxunto aberto de $S$ está aberto en $X$ . Así mesmo chámase subespazo pechado se a inxección $\iota$ é un mapa pechado.

Terminoloxía

A distinción entre un conxunto e un espazo topolóxico adoita estar difuminada notacionalmente, por comodidade, o que pode ser unha fonte de confusión cando estas definicións se atopan por primeira vez Así, sempre que $S$ é un subconxunto de $X$ , e $(X,\tau )$ é un espazo topolóxico, entón os símbolos sen outras marcas, " $S$ " e " $X$ ", adoitan usarse para referirse a ambos os $S$ e $X$ considerados como dous subconxuntos de $X$ , e tamén a $(S,\tau _{S})$ e $(X,\tau )$ como os espazos topolóxicos relacionados como se comentou anteriormente. Así que frases como " $S$ un subespazo aberto de $X$ " úsanse co significado de $(S,\tau _{S})$ é un subespazo aberto de $(X,\tau )$ , no sentido usado anteriormente; é dicir: (i) $S\in \tau$ ; e (ii) $S$ considérase que está dotado da topoloxía relativa.

Exemplos

No seguinte, $\mathbb {R}$ representa os números reais coa súa topoloxía habitual.

A topoloxía do subespazo dos números naturais, como subespazo de $\mathbb {R}$ , é a topoloxía discreta.
Os números racionais $\mathbb {Q}$ considerados como subespazo de $\mathbb {R}$ non teñen a topoloxía discreta ({0} por exemplo, non é un conxunto aberto en $\mathbb {Q}$ porque non hai un subconxunto aberto de $\mathbb {R}$ cuxa intersección con $\mathbb {Q}$ pode dar como resultado só o conxunto unitario {0}). Se a e b son racionais, entón os intervalos (a, b) e [a, b] están respectivamente abertos e pechados, mais se a e b son irracionais, entón o conxunto de todos os racionais x con a < x < b é aberto e pechado.
O conxunto [0,1] como subespazo de $\mathbb {R}$ é aberto e pechado, mentres que como subconxunto de $\mathbb {R}$ só é pechado.
Como subespazo de $\mathbb {R}$ , [0, 1] ∪ [2, 3] componse de dous subconxuntos abertos disxuntos (que tamén están pechados), polo que é un espazo disconexo.
Sexa S = [0, 1) un subespazo da recta real $\mathbb {R}$ . Entón [0, ¹⁄₂) está aberto en S mais non en $\mathbb {R}$ (como, por exemplo, a intersección entre (-¹⁄₂, ¹⁄₂) e S resultan [0, ¹⁄₂)). Do mesmo xeito [¹⁄₂, 1) está pechado en S pero non en $\mathbb {R}$ (xa que non hai un subconxunto aberto de $\mathbb {R}$ que pode ter unha intersección con [0, 1) para dar como resultado [¹⁄₂, 1) ). S é aberto e pechado como un subconxunto de si mesmo mais non como un subconxunto de $\mathbb {R}$ .

Propiedades

A topoloxía do subespazo ten a seguinte propiedade característica. Sexa $Y$ un subespazo de $X$ e sexa $i:Y\to X$ o mapa de inclusión. Daquela para calquera espazo topolóxico $Z$ , un mapa $f:Z\to Y$ é continuo se e só se o mapa composto $i\circ f$ é continuo.

Characteristic property of the subspace topology — Propiedade característica da topoloxía subespacial

Esta propiedade é característica no sentido de que se pode usar para definir a topoloxía relativa $Y$ .

Enumeramos algunhas propiedades máis da topoloxía do subespazo. No seguinte $S$ é un subespazo de $X$ .

Se $f:X\to Y$ é continua, a restrición a $S$ é continua.
Se $f:X\to Y$ é continua, entón $f:X\to f(X)$ é continua.
Os conxuntos pechados en $S$ son precisamente as interseccións de $S$ con conxuntos pechados en $X$ .
Se $A$ é un subespazo de $S$ , entón $A$ tamén é un subespazo de $X$ coa mesma topoloxía. Noutras palabras, a topoloxía relativa que $A$ herda de $S$ é a mesma que herda de $X$ .
Supoñamos que $S$ é un subespazo aberto de $X$ (polo tanto, $S\in \tau$ ). Entón un subconxunto de $S$ é aberto en $S$ se e só se é aberto en $X$ .
Supoñamos que $S$ é un subespazo pechado de $X$ (polo tanto, $X\setminus S\in \tau$ ). Entón un subconxunto de $S$ é pechado en $S$ se e só se é pechado en $X$ .
Se $B$ é unha base para $X$ , entón $B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}$ é unha base para $S$ .
A topoloxía inducida nun subconxunto dun espazo métrico ao restrinxir a métrica a este subconxunto coincide coa topoloxía relativa para este subconxunto.

Conservación das propiedades topolóxicas

Se un espazo topolóxico que ten algunha propiedade topolóxica implica que os seus subespazos teñen esa propiedade, entón dicimos que a propiedade é hereditaria. Se só os subespazos pechados deben compartir a propiedade chamámoslle debilmente hereditaria.

Todo subespazo aberto e todo subespazo pechado dun espazo completamente metrizábel é completamente metrizábel.
Cada subespazo aberto dun espazo de Baire é un espazo de Baire.
Todo subespazo pechado dun espazo compacto é compacto.
Ser un espazo de Hausdorff é hereditario.
Ser un espazo normal é debilmente hereditario.
Ser un espazo totalmente limitado é hereditario.
Ser un espazo totalmente disconexo é hereditario.
Ser un espazo primeiro numerábel ou segundo numerábel é hereditario.

Notas

↑ tom Dieck, Tammo (2008). Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich. p. 5. ISBN 978-3-03719-048-7. MR 2456045. doi:10.4171/048.
↑ Pinoli, Jean-Charles. Mathematical Foundations of Image Processing and Analysis 2. Wiley. ISBN 9781118984574. doi:10.1002/9781118984574.ch26. ; see Section 26.2.4. Submanifolds, p. 59

Véxase tamén

Bibliografía

Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Outros artigos

[ttd-1] tom Dieck, Tammo (2008). Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich. p. 5. ISBN 978-3-03719-048-7. MR 2456045. doi:10.4171/048.

[2] Pinoli, Jean-Charles. Mathematical Foundations of Image Processing and Analysis 2. Wiley. ISBN 9781118984574. doi:10.1002/9781118984574.ch26. ; see Section 26.2.4. Submanifolds, p. 59

[1]

[2]