Polinomio característico

Na álxebra linear, o polinomio característico dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes.

O polinomio característico dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base).

A ecuación característica, tamén coñecida como ecuación determinante, é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.

Na teoría de grafos espectral, o polinomio característico dun grafo é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia.

Definición formal

Considere unha matriz $A$ $n\times n$. O polinomio característico de $A,$ denotado como $p_{A}(t),$ é o polinomio definido por $$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$ onde $I$ denota a matriz de identidade $n\times n$.

Algúns autores definen o polinomio característico ser $\det(A-tI).$

Exemplos

Para calcular o polinomio característico da matriz $$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}},$$ calcúlase o determinante da seguinte matriz: $$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$e atopamos que o polinomio característico de $A$ ven sendo $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!.$

Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico φ como coeficientes da matriz. Para a matriz $$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}},$$o seu polinomio característico é $$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

Propiedades

O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de $A$ son precisamente as raíces de $p_{A}(t)$.

Para as matrices $A$ de dimensión $2\times 2$ o polinomio característico vén dado por $$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo $t$ por $A$ no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante $c$ como $c$ veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.

Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.

A matriz $A$ e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico. $A$ é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre $K$ (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso $A$ é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan.

Polinomio característico de A^k

Se $\lambda$ é un eigenvalor dunha matriz cadrada $A$ con eigenvector $\mathbf {v} ,$ entón $\lambda ^{k}$ é un eigenvalor de $A^{k}$ porque $$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.$$

Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de $x^{k}$:

Sexa $A$ unha matriz cadrada $n\times n$ e sexa $f(t)$ un polinomio. Se o polinomio característico de $A$ ten unha factorización $$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$$ entón o polinomio característico da matriz $f(A)$ ven dado por $$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$$

O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo. Porén, a suposición de que $p_{A}(t)$ ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Garibaldi, Skip (2004). The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions. American Mathematical Monthly 111. pp. 761–778. JSTOR 4145188. MR 2104048. arXiv:math/0203276. doi:10.2307/4145188. 

Outros artigos

• Valor propio, vector propio e espazo propio