Espazo completo

Na análise matemática, un espazo métrico M chámase completo (ou espazo de Cauchy) se toda secuencia de Cauchy de puntos en M ten un límite que tamén está en M

Intuitivamente, un espazo é completo se non lle faltan "puntos" (dentro ou no límite). Por exemplo, o conxunto de números racionais non é completo, porque por exemplo ${\sqrt {2}}$ "falta" nel, aínda que se poida construír unha secuencia de Cauchy de números racionais que converxa a el (ver exemplos máis abaixo).

Sempre é posíbel "encher todos os buratos", levando a completar un espazo determinado, como se explica a continuación.

Definición

Secuencia de Cauchy

Unha secuencia $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ de elementos de $X$ dun espazo métrico $(X,d)$ chámase de Cauchy se para cada número real positivo $r>0$ hai un número enteiro positivo $N$ tal que para todos os enteiros positivos $m,n>N,$$$d(x_{m},x_{n})<r.$$

Espazo completo

Un espazo métrico $(X,d)$ está completo se se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

1. Toda secuencia de Cauchy de puntos en $X$ ten un límite que tamén está dentro de $X.$
2. Toda secuencia de Cauchy en $X$ converxe en $X$ (é dicir, a algún punto de $X$).
3. Toda secuencia decrecente de subconxuntos pechados non baleiros de $X,$ con diámetros tendentes a 0, ten unha intersección non baleira: se $F_{n}$ está pechado e non baleiro, $F_{n+1}\subseteq F_{n}$ para cada $n,$ e $\operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,$ entón hai un punto único $x\in X$ común a todos os conxuntos $F_{n}.$

Exemplos

O espazo Q dos números racionais, coa métrica estándar dada polo valor absoluto da diferenza, non é completo. Considere, por exemplo, a secuencia definida por $x_{1}=1$ e $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ Esta é unha sucesión de Cauchy de números racionais, mais non converxe cara a ningún límite racional: se a secuencia tivese un límite $x,$ entón ao resolver $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ necesariamente $x^{2}=2,$ e resulta que ningún número racional ten esta propiedade. Porén, considerada como unha secuencia de números reais, converxe ao número irracional ${\sqrt {2}}$ .

O intervalo aberto (0,1), de novo coa métrica de diferenza absoluta, tampouco non é completo. A secuencia definida por $x_{n}={\tfrac {1}{n}}$ é de Cauchy, mais non ten límite no espazo indicado. No entanto, o intervalo pechado [0,1] é completo; por exemplo, a secuencia dada ten un límite neste intervalo, é dicir, cero.

O espazo R dos números reais e o espazo C dos complexos (coa métrica dada pola diferenza absoluta) son completos, e tamén o é o espazo euclidiano Rⁿ, coa métrica de distancia habitual. Pola contra, os espazos vectoriais normados de dimensións infinitas poden ser completos ou non; os que son completos son os espazos de Banach. O espazo C[a, b] de funcións continuas de valores reais nun intervalo pechado e limitado é un espazo de Banach, e polo tanto un espazo métrico completo, con respecto á norma do supremo. Porén, a norma do supremo non dá unha norma sobre o espazo C (a, b) de funcións continuas en (a, b), pois pode conter funcións non limitadas. Pola contra, coa topoloxía da converxencia compacta, C (a, b) pódese dar a estrutura dun espazo de Fréchet: un espazo vectorial topolóxico localmente convexo cuxa topoloxía pode ser inducida por unha métrica completa invariante de translación.

O espazo Q_p dos números p-ádicos é completo para calquera número primo $p.$ Este espazo completa Q coa métrica p-ádica do mesmo xeito que R completa Q coa métrica habitual.

As variedades de Riemann que son completas chámanse variedades xeodésicas; que sexan completas dedúcese do teorema de Hopf-Rinow.

Algúns teoremas

Todo espazo métrico compacto é completo, aínda así os espazos completos poden non ser compactos. De feito, un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Isto é unha xeneralización do teorema de Heine–Borel , o cal expón que calquera subespazo $S$ limitado e pechado de Rⁿ é compacto e por tanto completo.

Se $X$ é un espazo topolóxico e $M$ é un espazo métrico completo, entón o conxunto $C_{b}(X,M)$ que consta de todas as funcións limitadas continuas $f:X\to M$ é un subespazo pechado de $B(X,M)$ e, polo tanto, tamén completo.

O teorema das categorías de Baire di que todo espazo métrico completo é un espazo de Baire. É dicir, a unión de moitos subconxuntos densos en ningún lugar do espazo ten un interior baleiro.

Completamento

Para calquera espazo métrico M, é posíbel construír un espazo métrico completo M′ (que tamén se denota como ${\overline {M}}$), que contén a M como un subespazo denso. Ten a seguinte propiedade universal: se N é calquera espazo métrico completo e f é calquera función uniformemente continua de M a N, entón existe unha única función uniformemente continua f′ de M′ a N que estende f. O espazo M' determínase ata isometría por esta propiedade (entre todos os espazos métricos completos que conteñen isométricamente M), e chámase completamento de M .

O completamento de M pódese construír como un conxunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en M. Para dúas secuencias de Cauchy calquera $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)$ e $y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)$ en M, podemos definir a súa distancia como $$d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)$$

(Este límite existe porque os números reais son completos.) Esta é só unha pseudométrica, aínda non unha métrica, xa que dúas secuencias de Cauchy diferentes poden ter a distancia 0. Mais "ter a distancia 0" é unha relación de equivalencia no conxunto de todas as secuencias de Cauchy, e o conxunto de clases de equivalencia é un espazo métrico, o completamento de M. O espazo orixinal está mergullado neste espazo mediante a identificación dun elemento x de M' coa clase de equivalencia de secuencias en M que converxen en x (é dicir, a clase de equivalencia que contén a secuencia con valor constante x). Isto define unha isometría nun subespazo denso, segundo sexa necesario. Observe, porén, que esta construción fai un uso explícito da completude dos números reais, polo que o completamento dos números racionais necesita un tratamento lixeiramente diferente.

Para un primo $p,$ os números p-ádicos xorden completando os números racionais en relación a unha métrica diferente.

Se o procedemento de completamento anterior se aplica a un espazo vectorial normado, o resultado é un espazo de Banach que contén o espazo orixinal como subespazo denso, e se se aplica a un espazo prehilbertiano (de produto interno), o resultado é un espazo de Hilbert que contén o espazo orixinal como un subespazo denso.

Espazos topoloxicamente completos

A completude é unha propiedade da métrica e non da topoloxía, o que significa que un espazo métrico completo pode ser homeomórfico a un espazo non completo. Un exemplo son os números reais, que son completos pero homeomórficos ao intervalo aberto (0,1), que non é completo.

En topoloxía considéranse os espazos completamente metrizábeis, espazos para os que existe polo menos unha métrica completa que induce a topoloxía dada. Os espazos completamente metrizábeis pódense caracterizar como aqueles espazos que se poden escribir como unha intersección de numerábeis moitos subconxuntos abertos dun espazo métrico completo. Dado que a conclusión do teorema das categorías de Baire é puramente topolóxica, aplícase tamén a estes espazos.

Os espazos completamente metrizábeis adoitan chamarse topoloxicamente completos. Algúns autores usan o termo topoloxicamente completo para unha clase máis ampla de espazos topolóxicos, os espazos completamente uniformizábeis.

Un espazo topolóxico homeomorfo a un espazo métrico completo separábel chámase espazo polaco.

Véxase tamén

Bibliografía

• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6. 
• Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
• Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to functional analysis. Ramanujan, M.S. (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9. 

Outros artigos

• Espazo de Cauchy space
• Completamento (álxebra)
• Espazo vectorial topolóxicamente completo
• Teorema de Knaster–Tarski theorem

Ligazóns externas

• Completion (MathWorld).