Relación de congruencia

En álxebra abstracta, unha relación de congruencia (ou simplemente congruencia) é unha relación de equivalencia nunha estrutura alxébrica (como un grupo, anel ou espazo vectorial) que é compatíbel coa estrutura no sentido de que as operacións alxébricas feitas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes.^[1] Toda relación de congruencia ten unha estrutura cociente correspondente, cuxos elementos son as clases de equivalencia (ou clases de congruencia) para a relación. ^[2]

Definición

A definición dunha congruencia depende do tipo de estrutura alxébrica que se considere. Pódense facer definicións particulares de congruencia para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, semigrupos, retículas e outras. O tema común é que unha congruencia é unha relación de equivalencia sobre un obxecto alxébrico que é compatíbel coa estrutura alxébrica, no sentido de que as operacións están ben definidas nas clases de equivalencia.

Xeral

A noción xeral dunha relación de congruencia pódese definir formalmente no contexto da álxebra universal, un campo que estuda ideas comúns a todas as estruturas alxébricas. Neste escenario, unha relación $R$ nunha determinada estrutura alxébrica chámase compatíbel se

para cada

n

e cada operación

n

-aria

\mu

definida sobre a estrutura: sempre que

a_{1}\mathrel {R} a'_{1}

e... e

a_{n}\mathrel {R} a'_{n}

, entón

\mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})

.

Unha relación de congruencia na estrutura defínese daquela como unha relación de equivalencia que tamén é compatíbel.^[3] ^[4]

Exemplos

Exemplo básico

O exemplo prototípico dunha relación de congruencia é a congruencia módulo $n$ no conxunto de números enteiros. Para un número enteiro positivo dado $n$ , dous números enteiros $a$ e $b$ chámanse congruentes módulo $n$ , escrito

a\equiv b{\pmod {n}}

se $a-b$ é divisíbel por $n$ (ou equivalentemente se $a$ e $b$ teñen o mesmo resto cando se divide por $n$ ).

Por exemplo, $37$ e $57$ son congruentes módulo $10$ ,

37\equiv 57{\pmod {10}}

xa que $37-57=-20$ é múltiplo de 10, ou o equivalente xa que ambos $37$ e $57$ teñen un resto de $7$ cando se divide por $10$ .

A congruencia módulo $n$ (para un $n$ fixo) é compatíbel tanto coa suma como coa multiplicación dos números enteiros. É dicir,

se

\quad a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}

e

b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}

daquela

\quad a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}

e

a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}

.

A adición e multiplicación correspondentes de clases de equivalencia coñécese como aritmética modular. Desde o punto de vista da álxebra abstracta, a congruencia módulo $n$ é unha relación de congruencia no anel de enteiros e a aritmética módulo $n$ ocorre no anel cociente correspondente.

Exemplo: Grupos

Por exemplo, un grupo é un obxecto alxébrico que consiste nun conxunto xunto cunha única operación binaria, que satisfai certos axiomas. Se $G$ é un grupo con operación $\ast$ , unha relación de congruencia sobre $G$ é unha relación de equivalencia $\equiv$ sobre os elementos de $G$ a satisfacer

g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,

e

\ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}

para todos $g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G$ . Para unha congruencia nun grupo, a clase de equivalencia que contén o elemento identidade é sempre un subgrupo normal, e as outras clases de equivalencia son as outras clases deste subgrupo. En conxunto, estas clases de equivalencia son os elementos dun grupo cociente.

Exemplo: aneis

Cando unha estrutura alxébrica inclúe máis dunha operación, as relacións de congruencia deben ser compatíbeis con cada operación. Por exemplo, un anel posúe suma e multiplicación, e unha relación de congruencia nun anel debe satisfacer

r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}

e

r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}

sempre que $r_{1}\equiv r_{2}$ e $s_{1}\equiv s_{2}$ . Para unha congruencia nun anel, a clase de equivalencia que contén o 0 é sempre un ideal polos dous lados, e as dúas operacións sobre o conxunto de clases de equivalencia definen o anel cociente correspondente.

Relación cos homomorfismos

Se $f:A\,\rightarrow B$ é un homomorfismo entre dúas estruturas alxébricas (como o homomorfismo de grupos, ou un mapa linear entre espazos vectoriais), entón a relación $R$ definida por

a_{1}\,R\,a_{2}

se e só se

f(a_{1})=f(a_{2})

é unha relación de congruencia sobre $A$ . Polo primeiro teorema de isomorfismo, a imaxe de A baixo $f$ é unha subestrutura de B isomórfica ao cociente de A por esta congruencia.

Por outra banda, a relación de congruencia $R$ induce un homomorfismo único $f:A\rightarrow A/R$ dado por

f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}

.

Así, hai unha correspondencia natural entre as congruencias e os homomorfismos de calquera estrutura alxébrica dada.

Congruencias de grupos, e subgrupos normais e ideais

No caso particular dos grupos, as relacións de congruencia pódense describir en termos elementais do seguinte xeito: Se G é un grupo (con elemento de identidade e e operación *) e o símbolo ~ é unha relación binaria en G, entón ~ é unha congruencia sempre que:

Dado calquera elemento a de G, a ~ a (reflexividade);
Dados os elementos a e b de G, se a ~ b, entón b ~ a (simetría);
Dados os elementos a, b e c de G, se a ~ b e b ~ c, entón a ~ c (transitividade);
Dados os elementos a, a ′, b e b ′ de G, se a ~ a′ e b ~ b′, entón a * b ~ a′ * b′;
Dados os elementos a e a ′ de G, se a ~ a′, entón a⁻¹ ~ a′⁻¹ (isto está implícito polos outros catro, ^{[note 1]} polo que é estritamente redundante).

As condicións 1, 2 e 3 din que ~ é unha relación de equivalencia.

Unha congruencia ~ está determinada enteiramente polo conxunto {a ∈ G | a ~ e} daqueles elementos de G que son congruentes co elemento identidade, e este conxunto é un subgrupo normal. En concreto, a ~ b se e só se b⁻¹ * a ~ e. Entón, en lugar de falar de congruencias en grupos, a xente adoita falar en termos de subgrupos normais deles; de feito, toda congruencia corresponde unicamente a algún subgrupo normal de G.

Os ideais dos aneis e o caso xeral

Un truco semellante permite falar dos núcleos na teoría de aneis como ideais en lugar de relacións de congruencia, e na teoría de módulos como submódulos en lugar de relacións de congruencia.

Unha situación máis xeral na que este truco é posíbel é cos grupos Omega (no sentido xeral que permiten operadores con aridade múltiple). Pero isto non se pode facer, por exemplo, con monoides, polo que o estudo das relacións de congruencia xoga un papel máis central na teoría dos monoides.

Álxebra universal

A noción xeral de congruencia é particularmente útil na álxebra universal. Unha formulación equivalente neste contexto é a seguinte: ^[4]

Unha relación de congruencia nunha álxebra A é un subconxunto do produto directo A × A que é á vez unha relación de equivalencia en A e unha subálxebra de A × A.

O kernel dun homomorfismo é sempre unha congruencia. De feito, toda congruencia xorde como un kernel. Para unha congruencia dada ~ sobre A, no conxunto A / ~ de clases de equivalencia pódese dar a estrutura dunha álxebra de forma natural, a álxebra cociente. A función que asigna cada elemento de A á súa clase de equivalencia é un homomorfismo, e o kernel deste homomorfismo é ~.

A rede Con (A) de todas as relacións de congruencia nunha álxebra A é unha retícula alxébrica.

Nun grupo determínase unha congruencia se coñecemos unha única clase de congruencia, en particular se coñecemos o subgrupo normal que é a clase que contén a identidade. Do mesmo xeito, nun anel determínase unha congruencia se coñecemos o ideal que é a clase de congruencia que contén o cero.

Nos semigrupos non existe tal ocorrencia afortunada, polo que estamos ante a necesidade de estudar as congruencias como tal. Máis que outra cousa, é esta necesidade a que dá á teoría dos semigrupos o seu sabor característico. Os semigrupos son de feito o primeiro e máis sinxelo tipo de álxebra ao que se deben aplicar os métodos da álxebra universal. ... ^[5]

Notas

↑ Hungerford (1974), p. 27.
↑ Hungerford (1974), p. 26.
↑ Barendregt (1990), p. 338.
↑ ^4,0 ^4,1 Bergman (2011).
↑ Howie (1975), p. v.

↑ Posto que a′⁻¹ = a′⁻¹ * a * a⁻¹ ~ a′⁻¹ * a′ * a⁻¹ = a⁻¹

Véxase tamén

Bibliografía

Barendregt, Henk (1990). "Functional Programming and Lambda Calculus". En Jan van Leeuwen. Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science B. Elsevier. pp. 321–364. ISBN 0-444-88074-7.
Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. Taylor & Francis.
Horn; Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
Howie, J. M. (1975). An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press.
Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Springer-Verlag.
Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.

Outros artigos

[FOOTNOTEHungerford197427-1] Hungerford (1974), p. 27.

[FOOTNOTEHungerford197426-2] Hungerford (1974), p. 26.

[FOOTNOTEBarendregt1990338-3] Barendregt (1990), p. 338.

[FOOTNOTEBergman2011-4] 4,0 ^4,1 Bergman (2011).

[FOOTNOTEHowie1975v-6] Howie (1975), p. v.

[5] Posto que a′⁻¹ = a′⁻¹ * a * a⁻¹ ~ a′⁻¹ * a′ * a⁻¹ = a⁻¹

[1]

[2]

[3]

[4]

[note 1]

[5]